解析幾何來由

1、解析幾何的建立和意義一、解析幾何的建立一句話，科學(xué)的需要和對方法論的興趣，推動了費爾馬和笛卡爾對坐標(biāo)幾何的研究。費爾馬，出身于商人家庭，學(xué)法律并以律師為職業(yè)，數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好。雖然他只能利用閑暇時間研究數(shù)學(xué)，但他對數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻(xiàn)。并同巴斯卡(Passcal)一同開創(chuàng)了概率論的研究工作，他和笛卡爾都是坐標(biāo)幾何的發(fā)明者。費爾馬關(guān)于曲線的工作，是從研究古希臘幾何學(xué)家，特別是阿波羅尼(Apollonius)開始的。阿波羅尼的

2、《論平面軌跡》一書久已失傳，而費爾馬是把它重新寫出來的人之一。他用代數(shù)來研究曲線。他說，他打算發(fā)起一個關(guān)于軌跡的一般研究，在這種研究是古希臘人沒做到的。1629年他寫了一本《平面和立體的軌跡引論》（1679年發(fā)表），書中說，他找到了一個研究有關(guān)曲線問題的普遍方法。費爾馬的坐標(biāo)幾何研究怎樣產(chǎn)生的，我們不知道，很可能把阿波羅尼的結(jié)果，直接翻譯成代數(shù)的形式。他考慮任意曲線和它上面的一般點J，J的位置用A、E兩個字母定出：A是從原點O沿底線到點

3、Z的距離，E是從Z到J的距離。它所用的坐標(biāo)，就是我們現(xiàn)在的斜坐標(biāo)。但是Y軸沒有明白出現(xiàn)，而且不用負(fù)數(shù)，它的A，E就是我們現(xiàn)在的XY.費爾馬把他的一般原理，敘述為“只要在最后的方程里出現(xiàn)兩各未知量，我們就得到一個軌跡，這兩個量之一，其末端描繪出一條直線或曲線?！鼻拔闹袑Σ煌恢玫腅其末端J……就把“線”描出，它的未知量A和E，實際是變數(shù)。或者可以說，聯(lián)系A(chǔ)和E的方程是不定的。他寫出聯(lián)系A(chǔ)、E的各種方程，并指明它們所描繪的曲線。例如，他給出

4、方程（用我們現(xiàn)在的寫法就是）dx=by，并指出這代表一條直線。他又給出d(ax)=by并指出它也表示一條直線。方程p2x2=y2代表一個圓。a2x2=ky2和xy=a各代表一條雙曲線，x2=ay代表一條拋物線，而且費爾馬確實領(lǐng)悟到坐標(biāo)軸可以平移和旋轉(zhuǎn)。因為他給出一些較復(fù)雜的二次方程，并給出它們可以簡化到的簡單形式。他肯定地得到如下結(jié)論：一個聯(lián)系著A、E的方程，如果是一次的就代表直線，如果是二次的就代表圓錐曲線。笛卡爾，首先是一位杰出的近

5、代哲學(xué)家。他是近代生物學(xué)的奠基人、第一流的物理學(xué)家，同時也是一位數(shù)學(xué)家。它的父親是一位相當(dāng)富有的律師。笛卡爾大學(xué)畢業(yè)后去巴黎當(dāng)律師，在那里他花了一年的時間，跟兩位神甫一起研究數(shù)學(xué)。其后九年中，他曾在幾個軍隊中服役，但他一直研究數(shù)學(xué)。在荷蘭布萊達(dá)地方的招貼牌有一個挑戰(zhàn)性的問題，被他解決了。這使他自信有數(shù)學(xué)才能，從而開始用心于數(shù)學(xué)?；氐桨屠韬?，他為望遠(yuǎn)鏡的威力所激動，又一心鉆研光學(xué)儀器的理論和構(gòu)造。1682年他32歲時移居荷蘭，得到較為安靜

6、自由的學(xué)術(shù)環(huán)境，在那里住了二十年，寫出了著名的作品。1649年他被邀請去做瑞典女皇的教師，第二年在那里患肺炎逝世，享年五十四歲。1637年笛卡爾寫的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書出版，這是一本文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作，包括三個著名的附錄：《幾何》、《折光》和《隕星》。《幾何》是他所寫的唯一一本數(shù)學(xué)書，他關(guān)于坐標(biāo)幾何的思想，就包括在它的這本《幾何》中。笛卡爾的其他著作有《思想的指導(dǎo)法則》，《世界體系》，《哲學(xué)原理》，《音樂概要》

7、。從上面的敘述我們可以看出，費爾馬和笛卡爾良人各自都研究了坐標(biāo)幾何，但他們研究的目的和方法卻有明顯不同。費爾馬著眼于繼承古希臘的思想，認(rèn)為自己的工作是重新表述了阿波羅尼的工作。而笛卡爾批評了希臘人的傳統(tǒng)，主張和這個傳統(tǒng)決裂。雖然用方程表示曲線的思想，在費爾馬的工作中更為明顯，但應(yīng)該說真正發(fā)現(xiàn)代數(shù)方法的威力的是笛卡爾。有種種原因，使坐標(biāo)幾何的思想──用代數(shù)方程表示并研究曲線的思想，在當(dāng)時沒有很快地被數(shù)學(xué)家們熱情地接受并利用。一個原因是因為

8、費爾馬的書《軌跡引論》到1679年才出版，而笛卡爾的《幾何》中對幾何作圖題的強調(diào)，遮蔽了方程和曲線的主要思想。事實上，許多和他同時代的人，都認(rèn)為坐標(biāo)幾何主要是解決作圖問題的工具，甚至萊布尼茲說笛卡爾的工作是退回到古代。雖然笛卡爾本人確實知道，它的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不限于提供一個解決作圖問題的工具，他在《幾何》的引言中說：“我在第二卷中所作的關(guān)于曲線性質(zhì)的討論，以及考察在這些性質(zhì)的方法，根據(jù)我看遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了普通幾何的論述?！钡们€方程之處，確實

9、被他的作圖問題所掩蓋。坐標(biāo)幾何傳播速度緩慢的另一個原因，是笛卡爾的書《幾何》寫得使人難懂。書中許多模糊不清之處，是他故意搞的。它說歐洲幾乎沒有一個數(shù)學(xué)家能讀懂他的著作，他只約略指出作圖法和證法，而留給別人去填寫入細(xì)節(jié)。他在一封信中把他的工作比作建筑師的工作，只是定出計劃，指明什么是應(yīng)該做的，而把手工操作留給木工和瓦工。他還說：“我沒有做過任何不經(jīng)心得刪節(jié)，但我預(yù)見到，對于那些自命無所不知的人，我如果寫的使他們能充分理解，他們將不失機會地

10、說我寫的都是他們已經(jīng)知道的東西?！边€有另一理由，在《幾何》中他說，他不愿意奪去讀者們自己進(jìn)行加工的樂趣。的確，它的思想必須從它的書中許多解出的例題里去推測，他說，他之所以刪去絕大多數(shù)定理的證明，是因為如果有人不嫌麻煩而去系統(tǒng)地考察這些例題，一般定理的證明就成為顯然的了，而且照這樣去學(xué)習(xí)是更為有益的。影響坐標(biāo)幾何被迅速接收的原因，還有一個是許多數(shù)學(xué)家反對把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，認(rèn)為數(shù)量運算和幾何量的運算要加以區(qū)別，不能混淆。再一個原因是當(dāng)時

11、代數(shù)被認(rèn)為是缺乏嚴(yán)密性的。上述種種原因，雖然阻礙了對費爾馬和笛卡爾的貢獻(xiàn)的了解，但也有很多人逐漸采用并擴展了坐標(biāo)幾何。二、解析幾何的重要性解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當(dāng)大的進(jìn)展，因此解析幾何不是一個巨大的成就，但在方法論上卻是一個了不起的創(chuàng)建。1、笛卡爾希望通過解析幾何引進(jìn)一個新的方法，他的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他的希望。在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的某些事實，而且這個探索問題的方式，幾乎成為自動的了。這套研究方法甚至是更為有利的。

12、用字母表示正數(shù)、負(fù)數(shù)，甚至以后代表復(fù)數(shù)時，就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形，用代數(shù)統(tǒng)一處理了。例如，綜合幾何中證明三角形的高交于一點時，必須分別考慮交點在三角形內(nèi)和三角形外，而解析幾何證明時，則不須加區(qū)別。2、解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)造成一個雙面的工具。一方面，幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過代數(shù)來達(dá)到。反過來，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論（例如，笛