微積分 總復習題及答案

1、第五章一元函數(shù)積分學例1：求不定積分sin3xdx?解：被積函數(shù)是一個復合函數(shù)，它是由和復合而成，因sin3x()sinfuu?()3uxx???此，為了利用第一換元積分公式，我們將變形為，故有sin3x1sin3sin3(3)3xxx?111sin3sin3(3)sin3(3)3(cos)333xdxxxdxxdxxuuC????????13cos33uxxC???例2：求不定積分22(0)axdxa???解：為了消去根式，利用三解恒

2、等式，可令，則22sincos1tt??sin()22xatt??????，，因此，由第二換元積分法，所以積22222sincosaxaatat????cosdxadt?分化為222221cos2coscoscos2taxdxatatdtatdtadt??????????2222cos2(2)sin22424aaaadttdtttC???????2(sincos)2atttC???由于，所以，，利用直角三角形直接寫sin()22xatt

3、??????sinxta?arcsin()txa?出，于是22cosaxta???鄰邊斜邊222221arcsin()22aaxdxxaxaxC??????例3：求不定積分sinxxdx?分析：如果被積函數(shù)中沒有x或sinx，那么這個積分很容易計算出來，所以()sinfxxx?可以考慮用分部積分求此不定積分，如果令u=x，那么利用分部積分公式就可以消去x（因為）1u?解令，則，.sinuxdvxdx??dudx?cosvx??于是。si

4、n(cos)(cos)cossinxxdxudvuvvduxxxdxxxxC???????????????熟悉分部積分公式以后，沒有必要明確的引入符號，而可以像下面那樣先湊微分，然uv后直接用分部積分公式計算：sincos(coscos)cossinxxdxxdxxxxdxxxxC????????????變量t，積分限也必須也必須換成新變量t的積分限，并且原來下限對應的參數(shù)做下限，上限對應的參數(shù)做上限。（2）求出換元后的原函數(shù)后，不必像

5、計算不定積分那樣將它還原成x的函數(shù)，只需()t?將新變量的上、下限帶入相減即可。解為了去掉被積函數(shù)中的根式，令，即，于是，并且當x=0時，3xt?3xt?23dxtdt?t=0；當x=8時，t=2，因此由換元公式有22822300013(1)13111ttdxdtdtttx??????????=222000113(1)3[(1)(1)]11tdttdtdttt???????????=2223[()ln(1)]3ln3002ttt????

6、例8：計算定積分10xxedx??分析：定積分的分部積分其本質上與先用不定積分的分部積分法求原函數(shù)，再用牛頓萊布尼茨計算定積分是一樣的因此，定積分的分部積分法的技巧和適應的函數(shù)類型與不定積分的分部積分法完全一樣解令，，則故由分部積分公式得ux?xdvedx??xdudxve????11110001()()()0xxxxxedxxeedxeedx????????????????11210xeee???????例９求反常積分0xxedx??

7、??分析：設在或或上連續(xù)，定義反常積分()fx[)a??(]b??()????()lim()baabfxdxfxdx????????()lim()bbaafxdxfxdx????????00()()()fxdxfxdxfxdx?????????????若上述極限存在，則稱相應的反常積分收斂，否則稱其發(fā)散解因為0000()()[()]0bbbbxxxxbxbxedxxdexeedxbeedx???????????????????，1()1