均值不等式求最值的常用技巧及習題(含解答經(jīng)典)

1、1利用基本不等式求最值的常用技巧及練習題（含解答）（經(jīng)典）一基本不等式的常用變形1.若，則(當且僅當時取“=”）若，則(當且僅0x?12xx??1x?0x?12xx???當_____________時取“=”）若，則(當且僅當____________時取“=”）0x?111222xxxxxx??????即或2.若，則(當且僅當____________時取“=”）0?ab2??abba若，則(當且僅當_________時取“=”）0ab?

2、222abababbababa??????即或注：（1）當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：技巧一：直接求：例1已知，且滿足，則xy的最大值為________。xyR??134xy??解：因為x0，y0，所以(當且僅當，即x=

3、6，y=8時取等號)，234343xyxyxy???A34xy?于是，，故xy的最大值3.13xy?3.xy??變式：若，求的最小值.并求xy的值44loglog2xy??11xy?解：∵即xy=1644loglog2xy??2log4??xy當且僅當x=y時等號成立21211211?????xyyxyx技巧二：配湊項求技巧二：配湊項求例2：已知，求函數(shù)的最大值。54x?14245yxx????解：，55404xx?????114254

4、34554yxxxx?????????????????231????當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。15454xx???1x?1x?max1y?例3.當時，求的最大值。(82)yxx??3變式：（1）若且，求的最小值??Ryx12??yxyx11?(2)已知且，求的最小值??Ryxba1??ybxayx?2：已知，且，求的最小值。00xy??191xy??xy?(3)設(shè)若的最小值為（）00.ab??11333abab?是與的等比

5、中項，則A8B4C1D14解析：解析：因為，所以。333??ba1??ba又所以，當且僅00ab??4222)11)((11???????????baabbaabbababa當即時取“=”。故選（Ｂ）baab?21??ba技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。()afxxx??2254xyx???解

6、：令，則24(2)xtt???2254xyx???22114(2)4xtttx???????因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。101ttt???1tt?1t????2??因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故1ytt????1????2??。52y?所以，所求函數(shù)的值域為。52????????練習求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x的值.（1）（2）(3)231(0)xxyxx????1233yxxx???