三角函數(shù)性和e指數(shù)形式的傅里葉變換

1、三角級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)于所有在以2pi為周期的函數(shù)f(x)，可以用一組如下的三角函數(shù)系將其展開(kāi)：1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……顯然，這組基在[pipi]上是正交的，因此可以在周期區(qū)間求積分獲得函數(shù)f(x)在以三角函數(shù)系為基的展開(kāi)系數(shù)，或者說(shuō)以三角函數(shù)系為坐標(biāo)的投影值a0anbn……一個(gè)一般的函數(shù)f(x)可以表示為奇函數(shù)和偶函數(shù)的疊加，因此它的展開(kāi)既含有正弦項(xiàng)又含有余

2、弦項(xiàng)，但偶函數(shù)的展開(kāi)僅含有常數(shù)項(xiàng)a0和正弦項(xiàng)，相似的，奇函數(shù)展開(kāi)僅含有余弦項(xiàng)。傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式根據(jù)歐拉公式e^jx=cosxjsinx，任意正弦、余弦項(xiàng)可以用復(fù)指表示，即cosx=(e^jxe^jx)2，sinx=(e^jxe^jx)2j。所以，任何一個(gè)周期函數(shù)f(x)既可以在三角函數(shù)系上表出也可以在復(fù)指數(shù)系1，e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐標(biāo)系之間，存在映射關(guān)系。但重要的是，由于積分變換的核函數(shù)形

3、式發(fā)生改變，其物理意義也將有所變化。由于復(fù)數(shù)的引入，每一個(gè)復(fù)指數(shù)e^jnx相對(duì)于三角函數(shù)系都變?yōu)橐粋€(gè)二維量，其物理含義是一條三維螺旋線。其道理非常簡(jiǎn)單，一個(gè)實(shí)參a表示數(shù)軸上的一點(diǎn)，而一個(gè)復(fù)數(shù)abj表示二維坐標(biāo)上的一點(diǎn)，所以cosx，sinx分別表示困難的問(wèn)題是對(duì)連續(xù)譜的理解.以下為標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉變換對(duì):由于存在關(guān)系式:e^jwt=coswtjsinwt再聯(lián)想一個(gè)信號(hào)在三角函數(shù)系上的展開(kāi)可以認(rèn)為上述傅里葉變換的意義是得到信號(hào)x(t)實(shí)部的c

4、oswt系數(shù)以及x(t)虛部的sinwt系數(shù).又由于cos的偶函數(shù)性質(zhì)sin的奇函數(shù)性質(zhì)以及jj=1這一定義對(duì)于某一個(gè)特定的w出現(xiàn)在變換式左邊的將是x(t)實(shí)部的coswt系數(shù)以及x(t)虛部的sinwt系數(shù)兩者的加和顯然可以用e^jwt的系數(shù)表示.假如直接以幾何意義來(lái)思考為什么傅里葉變換式兩端正負(fù)號(hào)不一致也很有趣.回到三角函數(shù)展開(kāi)在周期[pipi]上只有coswx與coswx的乘積不為零這也是正交性.而在三維空間中一條螺旋線與它自身的