偏微分方程—matlab(doc)

1、基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識偏微分方程的定解問題各種物理性質(zhì)的定常（即不隨時(shí)間變化）過程，都可用橢圓型方程來描述。其最典型、最簡單的形式是泊松(Poisson)方程（1）)(2222yxfyuxuu????????特別地，當(dāng)f(xy)≡0時(shí)，即為拉普拉斯(Laplace)方程，又稱為調(diào)和方程（2）02222????????yuxuu帶有穩(wěn)定熱源或內(nèi)部無熱源的穩(wěn)定溫度場的溫度分布，不可壓縮流體的穩(wěn)定無旋流動(dòng)及靜電場的電勢等均滿足這類方程。Poisso

2、n方程的第一邊值問題為（3）??????????????????????)()()()()(2222yxyxuyxyxfyuxuuyx?其中Ω為以Γ為邊界的有界區(qū)域，Γ為分段光滑曲線，ΩUΓ稱為定解區(qū)域，f(xy)?(xy)分別為ΩΓ上的已知連續(xù)函數(shù)。第二類和第三類邊界條件可統(tǒng)一表示成（4）)0(0)(?????????????aunuyx?其中n為邊界Γ的外法線方向。當(dāng)α=0時(shí)為第二類邊界條件，α≠0時(shí)為第三類邊界條件。在研究熱傳導(dǎo)過

3、程，氣體擴(kuò)散現(xiàn)象及電磁場的傳播等隨時(shí)間變化的非定常物理問題時(shí)，常常會遇到拋物型方程。其最簡單的形式為一維熱傳導(dǎo)方程（5）)0(022???????axuatu方程（5）可以有兩種不同類型的定解問題：初值問題（也稱為Cauchy問題）（6）?????????????????????????xxxuxtxuatu)()0(0022?初邊值問題（7）????????????????????????lxtgtlutgtuxxulxTtxuatu

4、0)()()()0()()0(0002122?其中?為已知函數(shù)，且滿足連接條件)()()(21xgxgx?)0()()0()0(21glg????問題（7）中的邊界條件稱為第一類界條件。第二類和第三類邊界條件為)()()()0(21tgtlutgtu??（8）TttgutxuTttgutxulxx??????????????????????????0)()(0)()(22101??其中。當(dāng)時(shí)，為第二類邊界條件，否則稱為第三類邊界條件。0

5、021????021????如果偏微分方程定解問題的解存在，唯一且連續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)（即出現(xiàn)在方程和定解條件中的已知函數(shù)），則此定解問題是適定的?？梢宰C明，上面所舉各種定解問題都是適定的。2偏微分方程的差分解法差分方法又稱為有限差分方法或網(wǎng)格法，是求偏微分方程定解問題的數(shù)值解中應(yīng)用最廣泛的方法之一。它的基本思想是：先對求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域用有限離散點(diǎn)（網(wǎng)格點(diǎn)）集代替；將問題中出現(xiàn)的連續(xù)變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點(diǎn)上離散

6、變量的函數(shù)代替；通過用網(wǎng)格點(diǎn)上函數(shù)的差商代替導(dǎo)數(shù)，將含連續(xù)變量的偏微分方程定解問題化成只含有限個(gè)未知數(shù)的代數(shù)方程組（稱為差分格式）。如果差分格式有解，且當(dāng)網(wǎng)格無限變小時(shí)其解收斂于原微分方程定解問題的解，則差分格式的解就作為原問題的近似解（數(shù)值解）。因此，用差分方法求偏微分方程定解問題一般需要解決以下問題：（i）選取網(wǎng)格；（ii）對微分方程及定解條件選擇差分近似，列出差分格式；（iii）求解差分格式；（iv）討論差分格式解對于微分方程解的

7、收斂性及誤差估計(jì)。下面我們只對偏微分方程的差分解法作一簡要的介紹。2.1橢圓型方程第一邊值問題的差分解法以Poisson方程（1）為基本模型討論第一邊值問題的差分方法?？紤]Poisson方程的第一邊值問題（3）????????????????????)()()()()(2222yxyxuyxyxfyuxuyx?取hτ分別為x方向和y方向的步長，以兩族平行線?jyykhxxjk????將定解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng)格。節(jié)點(diǎn)的全體記為)210(??

8、??jk為整數(shù)。定解區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)，記內(nèi)點(diǎn)集|)(?jykhxyxRjkkk???ji為。邊界Γ與網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為邊界點(diǎn)，邊界點(diǎn)全體記為Γhτ。與節(jié)點(diǎn)??R?h?沿x方向或y方向只差一個(gè)步長的點(diǎn)和稱為節(jié)點(diǎn))(jkyx)(1jkyx?)(1?jkyx的相鄰節(jié)點(diǎn)。如果一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的四個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)均屬于ΩUΓ，稱為正則內(nèi)點(diǎn)，正則)(jkyx內(nèi)點(diǎn)的全體記為Ω(1)，至少有一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)不屬于ΩUΓ的內(nèi)點(diǎn)稱為非正則內(nèi)點(diǎn)，非正則內(nèi)點(diǎn)的全體記為Ω(2