隨機(jī)偏微分方程及其應(yīng)用.pdf

1、隨機(jī)偏微分方程是源于物理、化學(xué)、生命學(xué)科等應(yīng)用學(xué)科的數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域，目前已成為概率論（數(shù)學(xué)）中極為活躍，并且發(fā)展迅速的分支領(lǐng)域之一．本博士論文由三部分組成，主要集中研究若干典型類(lèi)隨機(jī)偏微分方程以及相關(guān)的應(yīng)用．
　　 第一章我們考慮兩類(lèi)由高斯和非高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的高階拋物型隨機(jī)偏微分方程；Calm-Hilliard方程和Kuramoto-Sivashinsky方程．確定性的Cahn-Hilliard方程(見(jiàn)參考文獻(xiàn)Cahn和Hillia

2、rd[21],Novick-Cohen和Segel[78]):描述了材料科學(xué)中兩相位系統(tǒng)的某些重要的定性特征，例如表示調(diào)幅分解，即描述當(dāng)材料充分冷卻時(shí)系統(tǒng)的一個(gè)快速分離相位．上述方程中映射f表示同步自由能量函數(shù)F（包含一個(gè)對(duì)數(shù)項(xiàng)）的導(dǎo)數(shù)．在某些情形下，F(xiàn)能夠被一個(gè)正定系數(shù)的奇數(shù)多項(xiàng)式逼近．f的—個(gè)典型例子是一個(gè)立方函數(shù)，例如f(u)=u—u3．目前該方程是材料科學(xué)中一個(gè)非常重要的主題，然而，相位發(fā)展系統(tǒng)一般帶有隨機(jī)性，因此Cahn-Hi

3、lliard方程由隨機(jī)噪聲驅(qū)動(dòng)將更加合理．Da Prato和Debussche[32]第一次將Cahn-Hilliard方程用高斯噪聲隨機(jī)化．我們的工作是將驅(qū)動(dòng)噪聲多樣化，與實(shí)際擾動(dòng)的表現(xiàn)行為更為接近．第一節(jié)的前面部分證明了由高斯和非高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Cahn-Hilliard方程的解的存在唯一性及其解的一些有意義的性質(zhì)，例如Stroock-Varadhan特征支撐定理，不變測(cè)度，大偏差原理等．在第1.1節(jié)中，應(yīng)用附錄A中格林函數(shù)的估計(jì)

4、，我們證明了由高斯空時(shí)白噪聲擾動(dòng)的隨機(jī)Cahn-Hilliard方程的解的分布的Stroock-Varadhan特征支撐定理．在第1.2節(jié)中，我們研究了一個(gè)在諾依曼邊界條件下由泊松隨機(jī)測(cè)度驅(qū)動(dòng)的Cahn-Hilliard方程，證明了其全局弱解的存在性和唯一性．進(jìn)一步，證明了其解的李雅普諾夫函數(shù)和對(duì)應(yīng)于解的轉(zhuǎn)移半群的不變測(cè)度的存在性．在第1.3節(jié)中，我們研究一類(lèi)由分式噪聲驅(qū)動(dòng)的跳類(lèi)Calm-Hilliard方程，其跳部分為一個(gè)（純跳）Le

5、vy空時(shí)白噪聲．我們用不動(dòng)點(diǎn)原理證明了在某些合適的系數(shù)條件下該方程存在局部Mild解．在證明過(guò)程中，一個(gè)需克服的困難是傳統(tǒng)的Burkho1der-Davis-Gundy不等式并不適用于帶跳的Cahn-Hilliard方程，因此我們引入一個(gè)改進(jìn)的Burkholder-Davis-Gundy不等式．在第1.4節(jié)中，我們證明了由高斯空時(shí)白噪聲驅(qū)動(dòng)的Cahn-Hilliard方程的小擾動(dòng)大偏差原理，在第1.5節(jié)中，我們考慮了一個(gè)高斯空時(shí)白噪聲驅(qū)

6、動(dòng)的Cahn-Hilliard方程，研究了當(dāng)白噪聲消失時(shí)其解的密度的逼近行為．進(jìn)一步，我們得到了其解的密度的泰勒展開(kāi)多項(xiàng)式．最后在第1.6節(jié)中，我們考慮另一類(lèi)高階的隨機(jī)微分方程：Kuramoto-Sivashinsky方程，我們證明了由補(bǔ)償泊松隨機(jī)測(cè)度驅(qū)動(dòng)的非局部Kuramoto-Sivashinsky方程的解的存在性和唯一性．更進(jìn)一步，我們得到了其解對(duì)應(yīng)半群的Fellerian性質(zhì)并且應(yīng)用Krylov-Bogoliubov定理證明了不

7、變測(cè)度的存在性和解的某類(lèi)支撐性質(zhì)．
　　 與第一章的內(nèi)容平行，第二章我們考慮另一類(lèi)重要的隨機(jī)偏微分方程：分式隨機(jī)偏微分方程，近些年來(lái)分式方程越來(lái)越受到重視，其被廣泛應(yīng)用于圖像分析，金融管理和統(tǒng)計(jì)力學(xué)的各種現(xiàn)象建模（詳見(jiàn)[10，43，63，68，74，115，116]）．很多學(xué)者對(duì)有隨機(jī)擾動(dòng)的分式方程作了大量的研究工作（詳見(jiàn)Angulo等[2]，Azerad和Mellouk[4]，Debbi和Dozzi[32]，Droniou等[

8、42]）．在Azerad和Mellouk[4]與Debbi和Dozzi[32]中，作者證明了由高斯空時(shí)白噪聲驅(qū)動(dòng)的一維分式隨機(jī)偏微分方程的解的存在唯—性和正則性．我們的工作是將連續(xù)的擾動(dòng)（高斯噪聲）推廣到不連續(xù)的情形（Levy噪聲）．在第2.1節(jié)中，通過(guò)應(yīng)用第1.3節(jié)中提到的改進(jìn)的Burkholder-Davis-Gundy不等式，我們得到了由Levy空時(shí)白噪聲驅(qū)動(dòng)的分式隨機(jī)偏微分方程的解的存在唯一性．在第2.2節(jié)中，我們證明了由可加分

9、式噪聲驅(qū)動(dòng)的分式隨機(jī)偏微分方程的解的存在唯—性和正則性．更進(jìn)一步，其解的絕對(duì)連續(xù)性得到了證明．在后面兩節(jié)中，我們考慮兩類(lèi)更抽象的隨機(jī)偏微分方程．在第2.3節(jié)中，我們證明了在某個(gè)希爾伯特空間中由泊松隨機(jī)測(cè)度驅(qū)動(dòng)的一類(lèi)中立隨機(jī)發(fā)展方程的Mild解的存在唯一性，并且得到了其解的Faedo-Galerkin逼近．最后我們?cè)诘?.4節(jié)中研究了由一般的Levy過(guò)程驅(qū)動(dòng)的耗散隨機(jī)發(fā)展方程的變分解的存在唯一性．更進(jìn)一步，我們?cè)谀承┖线m的條件下分別得到了

10、對(duì)應(yīng)于變分解的不變測(cè)度的唯一性和其解對(duì)應(yīng)的不變集的存在性．
　　 第三章我們討論一類(lèi)著名的雙曲類(lèi)方程：波動(dòng)方程．在第3.1節(jié)中，我們考慮由補(bǔ)償泊松隨機(jī)測(cè)度驅(qū)動(dòng)的一個(gè)非線(xiàn)性衰減波動(dòng)方程，我們證明了其全局弱解和強(qiáng)解的存在性和唯一性，更進(jìn)一步，其解的馬爾可夫性和其解對(duì)應(yīng)的不變測(cè)度的存在性和支撐性質(zhì)亦被證明，在接下來(lái)的第3.2節(jié)中，我們考慮一類(lèi)由非高斯Levy噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)波動(dòng)方程．解的存在唯一性的證明基于Levy過(guò)程跳的如下性質(zhì)：對(duì)于

11、只有小跳的Levy過(guò)程是—個(gè)鞅且具有任意階矩，而Levy過(guò)程發(fā)生大跳的時(shí)間是可以從小到大依次排列，由于一般的非高斯Levy過(guò)程的高階矩不一定存在（例如α-穩(wěn)定過(guò)程），因此在討論不變測(cè)度時(shí)我們把漂移和跳系數(shù)限定在某—個(gè)函數(shù)類(lèi)中．這樣在合適的穩(wěn)定性假設(shè)條件下，我們證明該方程解半群對(duì)應(yīng)的不變測(cè)度是存在唯一的．
　　 本文結(jié)尾我們列出了近期考慮的幾個(gè)研究主題。首先，我們考慮一類(lèi)由補(bǔ)償泊松隨機(jī)測(cè)度驅(qū)動(dòng)的非局部Kuramoto-Sivash