淺析積分因子偏微分方程特征

1、1淺析積分因子偏微分方程特征 摘 要采用積分因子法將一階微分方程轉(zhuǎn)化成全微分方程是我們常用的一種重要的求解方法.為了得到方程的積分因子, 需要求解積分因子所滿足的偏微分方程.為了避免求解偏微分程，我們利用偏微分方程所對(duì)應(yīng)的特征方程, 從而將求解積分因子轉(zhuǎn)化成為求解常微分方程的首次積分.為了簡(jiǎn)化首次積分的計(jì)算, 我給出了一些特征方程有關(guān)條件的限制, 并利用比例性質(zhì)對(duì)特征方程進(jìn)行變形,從而比較容易得到一些特殊的積分因子, 從而使常微分方

2、程轉(zhuǎn)化為全微分方程，這是我寫本文的主要思路.如何對(duì)特征方程有關(guān)條件進(jìn)行限制？這一點(diǎn)主要還是從積分因子的引入過(guò)程中得以了解.關(guān)鍵詞 關(guān)鍵詞 ：積分因子；偏微分方程；特征方程；首次積分ABSTRACTIntegrating factor method using first-order differential equations are transformed into Shing Chuen is commonly used as an

3、 important method for solving. Integral factor to the equation, integrating factor which needs to solve the partial differential equation. In order to avoid solving the partial differential equation, we use the charact

4、eristics of partial differential equations corresponding to the solution of integral factor transformed into the first integral to solve ordinary differential equations.In order to simplify the calculation of the first

5、points, I give some characteristic equation of the conditions, and the proportional nature of the characteristic equation for deformation, and thus easier to get some special integrating factor, so that all ordinary di

6、fferential equations are transformed into This is my main ideas of this writing. How to restrict the conditions characteristic equation? This is mainly from the introduction of the process of integrating factor to under

7、stand.Key words：Integrating factor；Partial Differential Equations；Characteristic equation；First integra引言對(duì)一些特殊積分因子的存在條件和計(jì)算公式做了一些研究，并利用這些方法對(duì)一些較為復(fù)雜的的微分方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，并使我們對(duì)積分因子法的應(yīng)用有了3方程的解法和理論是極為豐富的.一階偏微分方程的一般形式為：（1-6）其中， ， ….， 為 0

8、) ... , , , ... , (2 12 1 ? ??????x x x x x xnnu u u u F x1 x2 xn自變量， 是未知函數(shù)，和常微分方程一樣， （1-6）也有初值問(wèn)題即 Cauchy 問(wèn) u題，但提法不同.（1-4）的初值問(wèn)題是求（1-6）的滿足的解，其中 i 是 1,2,3,.....，n ) ,... , ... , ( | 1 1 2 10ui x x x x x u n i i i f u ? ? ?

9、 ?中的某一個(gè)數(shù).而 為某一給定函數(shù). ) ,... , ... , ( 1 1 2 1 x x x x x n i i f ? ?例如，求解初值問(wèn)題 解 前面已知方程的通解為? ?? ???? ?? ? ??y y uyuxu2 ) , 0 (0其中 為 的任意可微函數(shù)，根據(jù)初值條件 , y) - f(x u ? ) (v f v y y u2 ) , 0 ( ?應(yīng)有 ,所以 ,于是初值問(wèn)題的解為 y y f2 ) ( ? ? v

10、 v f2 ) ( ? ) (2 y x u ? ?如下兩類方程：（1-7） 0 ) ,..., ( ....... ) ,..., ( 111 1 ? ?? ? ? ??x x x X x x x Xnn n nu u（1- ) , ,..., ( ) ,..., ( ....... ) ,..., ( 1 111 1 u R u u x x x x x X x x x X nnn n n ? ?? ? ? ??8）（1-7）稱為一階

11、線性奇次偏微分方程，（1-8）稱為一階擬線性非齊次偏微分方程.對(duì)一階微分方程(1)其中 0 ) , ( ) , ( ? ? dy y x N dx y x M D y x ? ) , (D 為單連通區(qū)域， 在 D 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，尋找積分 ) , ( ), , ( y x N y x M因子 ,使方程（1）轉(zhuǎn)化成微分方程 ) , ( y x u（2）求解，是一種重要 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ? ? dy