偏微分方程和積分系統(tǒng)的混沌研究.pdf

1、混沌(chaos)是非線性科學研究的中心課題之一,是非線性動力系統(tǒng)普遍存在的一種運動形式.同時，混沌研究對非線性動力學的發(fā)展起著全局性、本質性的影響.非線性動力學的某些研究一開始就與混沌探索聯(lián)系在一起.但是，直到20世紀50年代末，混沌理論創(chuàng)立之前，混沌概念還是極其模糊的.即使現(xiàn)在，不同領域對混沌的理解也很不相同.但就一般而言，混沌是指在確定性的系統(tǒng)中，不需要附加任何隨機因素亦可出現(xiàn)的類似隨機的動力學行為.混沌系統(tǒng)的最大特點就在于系統(tǒng)的

2、演化對初始條件十分敏感.因此，從長期意義上講。系統(tǒng)的行為足不可預測的. 關于動力系統(tǒng)混沌的研究吸引了許多科學家和數(shù)學家的興趣.1975年，Li與Yorke[1]研究了連續(xù)區(qū)間映射，得到了一個著名的結果“周期3蘊含混沌”。該判別定理在研究一維離散動力系統(tǒng)的混沌問題時有非常重要的作用。在該文中他們首次給出混沌的一個數(shù)學定義。之后，出現(xiàn)了幾個不同的混沌定義[2-5]。有些較強而有些較弱，依賴于對不同問題研究的需要。1978年，F(xiàn).R.

3、Marotto受Li與Yorke工作的啟發(fā)，把Li-Yorke定理推廣到n維情況，并給出了擴張不動點和返回擴張不動點的概念。Marotto定理[6，定理3.1]證明了返回擴張不動點導致Li-Yorkc意義下混沌.最近，史玉明和陳關榮抓住了擴張不動點和返回擴張不動點的本質，把Marotto對Rn中連續(xù)可微映射定義的擴張不動點和返回擴張不動點的概念推廣到了一般度量空間中[7].并且她們建立了幾個完備度量空間上離散動力系統(tǒng)的混沌判定定理[7，

4、8].許多動力系統(tǒng)模型導出的偏微分方程或積分方程常在Banach空間中進行研究。 在力學和電學系統(tǒng)中對非線性振蕩的研究一直以來都是科學家和工程師們研究的重要課題[9]。最近幾年，這類研究更多的集中在了混沌現(xiàn)象的研究.但對于南偏微分方程控制的力學系統(tǒng)的混沌振蕩的數(shù)學研究卻不多.一般來說，偏微分方程的研究需要更深的數(shù)學知識和技巧.偏微分方程有很多不同的類型.在本文第二章，我們只考慮一端帶有線性邊值條件，一端帶有非線性邊值條件的振動弦

5、的混沌振蕩問題。 積分方程是近代數(shù)學的一個重要分支.它在力學、數(shù)學物理和工程等領域有重要應用.同時我們知道在對積分方程進行迭代求其近似解時，會出現(xiàn)一些奇怪的現(xiàn)象，即對初始值作微小改變，其近似解會有很大不同，甚至有時其近似解圖象會極其混亂，即現(xiàn)在我們稱為的混沌現(xiàn)象.本文的第三章建立積分系統(tǒng)的混沌判定定理，對上述現(xiàn)象可以給出一個合理的解釋. 本文主要討論兩方面的問題:一是波動方程的混沌問題，二是Banach空間上的一類混沌離

6、散系統(tǒng)的微擾問題.本文由三章組成，主要內(nèi)容如下； 第一章概述了混沌研究的進展，給出了一些預備知識，其中包括了幾個數(shù)學上常用的混沌定義，以及動力系統(tǒng)中的一些基本概念，并回顧了目前已經(jīng)取得的關于離散動力系統(tǒng)混沌判定的一些結果。 第二章主要討論波動方程的混沌振蕩問題.波動方程足在工程和力學中一類非常重要的偏微分方程.本章考慮一維弦振動Wtt-wxx=0，x∈(0，1)它是一個無限維調和振蕩，其中左端x=0處，滿足一個線性邊值條

7、件；右端x=1處，滿足非線性邊值條件.首先，我們把這個問題轉化為一階雙曲系統(tǒng)，利用特征線法把問題轉化為一個特殊的離散系統(tǒng)un+1=Ho(un)。從而，把問題轉化為一維空間上的混沌問題進行研究.如果映射Ho在區(qū)間上混沌。我們就說該波動方程的邊值問題混沌.另外，為了說明所獲得結果，本章給出了一個例子，并給出了計算機仿真。 第三章主要研究Banach空間上的一類混沌離散系統(tǒng)的微擾問題.首先我們討論一類混沌離散系統(tǒng)的微擾問題.因為混沌系