反射倒向隨機(jī)微分方程及其在混合零和微分對策，可逆投資問題及偏微分方程中的應(yīng)用.pdf

1、形如yt=ξ+∫Ttf(s，Ys，Zs)ds-∫TtZsdBs的方程被稱為倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)。
　　 線性的倒向隨機(jī)微分方程是由Bismut在1973年研究隨機(jī)最優(yōu)控制的最大值原理時(shí)首次引入的.1990年，Pardoux和Peng首先證明了系數(shù)滿足Lipschitz條件的非線性倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性。1992年，著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家Duffie和Epstein也獨(dú)立的地引入了一類特殊類型的倒向隨機(jī)微分方程用以刻畫金融中

2、的遞歸效用函數(shù)。隨后，學(xué)者們進(jìn)一步的研究了不同條件下這類方程的可解性及相關(guān)性質(zhì)，并廣泛應(yīng)用于數(shù)理金融、隨機(jī)控制和經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域，使倒向隨機(jī)微分方程理論得到了進(jìn)一步的完善和發(fā)展。
　　 倒向隨機(jī)微分方程在金融中有廣泛的應(yīng)用。我們看到，完備市場模型下未定權(quán)益在某一時(shí)刻T的期望收益可以用一個(gè)動態(tài)投資組合來復(fù)制，其定價(jià)過程恰好可以由一個(gè)倒向隨機(jī)微分方程的解Y來描述，對應(yīng)的另一個(gè)過程Z則是相應(yīng)的對沖投資組合。在實(shí)際應(yīng)用中，金融市場中許多重

3、要的衍生產(chǎn)品均可以通過隨機(jī)微分方程給出理論價(jià)格。倒向隨機(jī)微分方程的另一個(gè)重要應(yīng)用是給出了一類偏微分方程的概率解釋。1991年，Peng利用倒向隨機(jī)微分方程對一類二階擬線性拋物型偏微分方程做出了概率解釋，將著名的Feynman-Kac公式推廣到非線性的情形，為偏微分方程的發(fā)展和應(yīng)用提供了更廣闊的空間。
　　 本文主要研究倒向隨機(jī)微分方程解的存在性和唯一性，及其在混合零和微分-積分對策問題，在可逆投資問題以及在偏微分-積分方程的概率

4、表示等問題上的應(yīng)用。
　　 以下是本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)論。
　　 第一章：簡要回顧倒向隨機(jī)微分方程的歷史及已有的經(jīng)典結(jié)果，同時(shí)介紹本文中所討論問題的背景及總體思路。
　　 第二章：研究了一類由布朗運(yùn)動和與之獨(dú)立的泊松過程共同驅(qū)動的雙邊反射倒向隨機(jī)微分方程解的存在性和唯一性，其中，上下邊界(障礙過程)分別是一個(gè)右連左極的過程。更確切的講，一方面，這里的信息流是由布朗運(yùn)動和與之獨(dú)立的泊松過程共同生成的；另一方面，障礙過

5、程可能包含兩種類型的跳，既可以是可料的，也可以是不可達(dá)的。在不假設(shè)Mokobodski條件的情況下，我們需要尋找一個(gè)五元適應(yīng)過程組(Y,Z，V,K±)，其中K±是右連左極的非減過程，使得對任意t≤T：(公式略)這里，B是布朗運(yùn)動，-μ是與之獨(dú)立的泊松過程所對應(yīng)的鞅測度。
　　 利用由Hamad、cne&Hassani在文章[52]中所提出的“局部解”這一有用的工具，我們證明了，當(dāng)?shù)瓜螂S機(jī)微分方程的生成元是滿足Lipschitz條

6、件，障礙過程及其左極限過程完全可分時(shí)，即：
　　 [H]：P-a.s.，(V)t≤T，Lt＜Uland Lt-＜Ut-，倒向隨機(jī)微分方程(0.0.1)存在唯一解。
　　 本章的主要結(jié)論是；定理2.3.2.(存在唯一性)在假設(shè)條件[H]成立的前提下，以(∫，ξ，L，U)為系數(shù)的雙邊反射倒向隨機(jī)微分方程存在唯一解，即：存在唯一的五元組(Y,Z，V,K+，K-)滿足(0.0.1)。
　　 在這章的第二部分，作為第一部分

7、存在唯一性的應(yīng)用，我們考慮了一類混合零和隨機(jī)微分對策問題。假設(shè)在一個(gè)帶跳的模型中c1和c2通過兩種形式：控制跟停時(shí)進(jìn)行博弈。受控系統(tǒng)有如下機(jī)制：（公式略）博弈停止時(shí)刻，c1需要支付給c2如下形式的現(xiàn)金流(公式略）問題的實(shí)質(zhì)是尋找一個(gè)c1和c2都接受的平衡點(diǎn)，我們稱之為博弈問題存在一個(gè)值。通過引入具有(0.0.1)結(jié)構(gòu)的倒向隨機(jī)微分方程，我們證明了這類博弈問題存在一個(gè)值，即下面的關(guān)系成立：infsup J(u，T；u，σ)=sup inf

8、 J(u，T；u，σ)，(u，T)(u，σ)(u，σ)(u，T)
　　 并且我們可以講這類博弈問題的值函數(shù)用相關(guān)的倒向隨機(jī)微分方程的解來表示。這一部分的主要結(jié)果是：
　　 定理2.4.1我們有如下關(guān)系成立：Yo=esssupσ∈To,v∈vessinfT∈To,u∈uJ(u，T；u，σ)=essinf∈To,u∈uesssupσ∈To，v∈vJ(u，T；v，σ)即Yo是這個(gè)博弈問題的值。
　　 第三章：研究了一類

9、系數(shù)不滿足平方可積條件時(shí)雙邊反射的倒向隨機(jī)方程的解的存在唯一性。粗略的講，我們尋找一個(gè)四元適應(yīng)過程組(Y，Z,K+，K-)滿足如下方程：（公式略）(0.0.2)
　　 更確切的說，一方面，我們削弱了系數(shù)ξ，(f(t，w，0，0))t≤T以及邊界的平方可積條件。在本章中，我們僅僅假設(shè)對于某個(gè)p∈]1，2[，ξ，suPt≤T(Lt+)，suPt＜T(Ut-)和∫oT|f(t，0，0)dt是Lp可積的。另一方面，在不假設(shè)Mokobod

10、ski條件的情況下，我們利用局部解這一有力工具以及Hamadène&Popier在文章[63]中獲得的此類單邊反射問題的有關(guān)結(jié)果，我們證明了，當(dāng)邊界完全可分時(shí)，即
　　 [H’]：P-a.s.，(V)t≤T，Lt＜Ut.
　　 倒向隨機(jī)微分方程(0.0.2)存在唯一解。定理3.3.1.(存在唯一性)在假設(shè)條件[H’]成立的前提下，以(f，ξ，L，U)為系數(shù)的雙邊反射倒向隨機(jī)微分方程存在唯一解，即：存在唯一的四元組(Y,Z

11、，K+，K-)滿足(0.0.2。
　　 第四章：在不確定模型中，研究了一類風(fēng)險(xiǎn)敏感的轉(zhuǎn)換問題。一方面，我們在一個(gè)不確定的模型中(注意不確定性跟隨機(jī)現(xiàn)象的區(qū)別)考慮一類轉(zhuǎn)換問題(有時(shí)也稱之為開關(guān)問題)。換言之，我們無法確定未來市場中的隨機(jī)現(xiàn)象將一直由某個(gè)概率測度P來描述，取而代之的，我們只知道它會由一族概率測度中的某一個(gè)來描述。另一方面，在研究這類問題的同時(shí)，通過引入一類指數(shù)型的效用函數(shù)，我們考慮了管理者對于風(fēng)險(xiǎn)的喜惡程度。在本章

12、中，我們考慮了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的管理者在Knight不確定性面前如何進(jìn)行抉擇的轉(zhuǎn)換問題。為了解決這個(gè)問題，我們引入了如下的反射倒向隨機(jī)微分方程的系統(tǒng):（公式略）(0.0.3)這里g12，g21表示進(jìn)行轉(zhuǎn)換所帶來的沉沒成本，H*是該問題對應(yīng)的哈密爾頓函數(shù)。
　　 通過這個(gè)系統(tǒng)，我們通過如下定理給出了最佳策略的刻畫定理：定理4.2.1.存在兩對三元組(Yi，Zi，Ki)，i=1，2滿足(0.0.3，并且
　　 exp{Y01)=

13、supinfJ(δ,u)。另外，我們有如下關(guān)于最佳管理策略(δ*，u*)的描述：T0：=0，對于n之0，n=0，…，（公式略）并目（公式略）在本章的最后，我們考慮如下帶相互關(guān)聯(lián)障礙的偏微分方程系統(tǒng)：（公式略），(0.0.4)其中φi由下式定義:（公式略）
　　 注意到，在馬氏框架下，這個(gè)系統(tǒng)是前面我們給出的系統(tǒng)的確定性版本。我們證明了，這時(shí)反射倒向隨機(jī)微分方程系統(tǒng)(0.0.3)解能夠給出偏微分方程系統(tǒng)(0.0.4)的唯一粘性解的

14、概率表示。
　　 第五章：通過引入一類合適的不耦合的正倒向隨機(jī)微分方程，我們研究了一類拋物型的偏微分積分方程的索伯列夫弱解的概率解釋。粗略的說，我們研究如下的偏微分積分方程的變分形式：（公式略）(0.0.5)其中（L）是對應(yīng)于一個(gè)跳擴(kuò)散過程的二階積分微分算子，其定義如下:（公式略）
　　 在本章中，我們將Bally和Matoussi在文章[5]中引入的隨機(jī)流方法推廣到模型帶跳的情形。借助于隨機(jī)流的良好性質(zhì)及隨機(jī)試驗(yàn)函數(shù)的