平均場正倒向隨機微分方程及相關(guān)的最優(yōu)控制、微分對策問題.pdf

1、平均場隨機微分方程，也稱為McKean-Vlasov方程，在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，像統(tǒng)計力學(xué)，物理學(xué)，量子力學(xué)和量子化學(xué)。Lasry和Lions [57]最近的一系列文章更是將這類方程的應(yīng)用領(lǐng)域拓展到經(jīng)濟、金融和對策理論。隨著平均場隨機微分方程理論的發(fā)展，特別是最近幾年，很多學(xué)者對McKean-Vlasov類型偏微分方程產(chǎn)生了極大的興趣，并嘗試用隨機的方式對其進行研究。當隨機系統(tǒng)的規(guī)模非常龐大時，通過刻畫由大量隨機微粒構(gòu)成的系統(tǒng)的漸進

2、行為來描述這些系統(tǒng)。受Lasry和Lions [57]工作的啟發(fā)，Buckdahn，Djehiche，Li和Peng [17]利用純隨機的方法，在研究一類特殊的平均場問題時，得到了一類新的倒向隨機微分方程—平均場倒向隨機微分方程。隨后，在2009年，Buckdahn，Li和Peng [20]證明了在Lipschitz條件下平均場倒向隨機微分方程的解存在唯一，并給出相關(guān)非局部擬線性偏微分方程的概率解釋。后面的兩項工作吸引了許多學(xué)者來研究平

3、均場框架下的隨機微分方程理論，大量的平均場框架下關(guān)于正倒向隨機微分方程理論和應(yīng)用方面的工作不斷涌現(xiàn)。
　　另一個方面，自從Bellman[6]提出動態(tài)規(guī)劃方法以來，這種方法便成為研究隨機控制問題的一個主要工具。它建立起隨機微分方程與偏微分方程之間關(guān)系，為給出相關(guān)偏微分方程的概率解釋提供了可能。但是平均場情形下，研究正倒向隨機微分方程的最優(yōu)控制及微分對策問題時，一個直接的技術(shù)困難是動態(tài)規(guī)劃原理不再成立。為此，我們不得不固定零時刻的參

4、數(shù)，通過研究以下新類型的正倒向隨機微分方程來克服這一困難:和值函數(shù)耦合的倒向隨機微分方程;對策中和上、下值函數(shù)耦合的倒向隨機微分方程;涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機微分方程;以及涉及值函數(shù)的一般的完全耦合的正倒向隨機微分方程。
　　在2013年，法國科學(xué)院院士Fields獎獲得者P.L.Lions在Collège de France的一系列講座（或者參考Cardaliaguet [23]編寫的課堂筆記）將平均場問題的研究工作推向

5、了一個新的高度。P.L.Lions在講座中指出可以通過研究函數(shù)(f)(ξ):=f（Pξ）關(guān)于ξ的Fréchet導(dǎo)數(shù)，來研究定義在測度空間P2(Rn)上的函數(shù)f:P2(Rn)(→)R關(guān)于測度的導(dǎo)數(shù)。受這一思想啟發(fā)，Carmona和Delarue [27]，[28]研究了人口數(shù)量較大的均衡主方程和正倒向隨機微分方程，及受控的McKean-Vlasov方程。Cardaliaguet [24]應(yīng)用變差方法證明了局部耦合的一階平均場對策系統(tǒng)的一個

6、弱解的存在唯一性。特別值得一提的是，Buckdahn，Li，Peng和Rainer [21]考慮由布朗運動驅(qū)動的一般情形下的平均場隨機微分方程，此時方程的系數(shù)不僅依賴于解，同時也依賴于解的分布。證明了由方程的解定義的值函數(shù)是一個涉及分布的非局部偏微分方程的唯一的經(jīng)典解?；贐uckdahn，Li，Peng和Rainer [21]的工作，本文第六章考慮了帶跳的平均場隨機微分方程，并給出了相關(guān)的偏微分方程的概率解釋。
　　本論文主要研