由Levy過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題及含Markov鏈的倒向隨機(jī)微分方程.pdf

1、在這篇論文中，我們以二次最優(yōu)控制問題和倒向隨機(jī)微分方程的理論為基礎(chǔ)，研究由Levy過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題及含馬爾科夫鏈的倒向隨機(jī)微分方程.本文共由四章組成. 在第一章中，我們簡(jiǎn)單的回顧了本文所研究問題的歷史文獻(xiàn)，并列出這篇論文所得到的主要結(jié)果. 在第二章和第三章中，我們考慮由Levy過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題.眾所周知，最優(yōu)控制理論在實(shí)際生活中有著重要且廣泛的應(yīng)用.其中，線性二次最優(yōu)控制問題是最優(yōu)控制

2、問題中應(yīng)用最廣泛的問題之一.在其形式首次被Kalman[22]提出之后，關(guān)于該問題的理論得到了很好的發(fā)展.用Brown運(yùn)動(dòng)刻畫隨機(jī)干擾的隨機(jī)二次最優(yōu)控制問題由Wonham([53，54])首次提出，而后得到了各個(gè)領(lǐng)域的研究專家深入廣泛的研究，相關(guān)文獻(xiàn)見[13，5，46，59，45]及其參考文獻(xiàn).另外，Levy過程是一類有獨(dú)立平穩(wěn)增量及右連左極軌道的過程.因?yàn)樵撨^程在金融及其它領(lǐng)域有許多的應(yīng)用，所以受到了眾多的關(guān)注和研究.在第二章中，我們

3、考慮一類有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)用Levy過程描述隨機(jī)干擾的隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題.我們證明了如果一類黎卡提方程有解，則該線性二次最優(yōu)控制問題適定并且可以根據(jù)此黎卡提方程的解構(gòu)造最優(yōu)狀態(tài)反饋控制.另外，我們還給出了這類黎卡提方程可解的一些充分條件. 第三章的內(nèi)容是第二章內(nèi)容的延續(xù).我們知道，無窮時(shí)間區(qū)間內(nèi)用Brown運(yùn)動(dòng)刻畫隨機(jī)干擾的線性二次最優(yōu)控制已經(jīng)得到廣泛且深入的研究，相關(guān)文獻(xiàn)見[59]，[46]，[47]，[55]及其參考文獻(xiàn).

4、在第三章中，我們考慮一類無窮時(shí)間區(qū)間內(nèi)用Levy過程描述隨機(jī)干擾的隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題.我們給出了這類二次最優(yōu)控制問題的可達(dá)性和一類代數(shù)黎卡提方程的穩(wěn)定解之間的聯(lián)系.另外，我們還利用一類半定規(guī)劃及其對(duì)偶問題來研究這類控制問題的最優(yōu)控制. 在本文的最后一章中，我們研究了含馬爾科夫鏈的倒向隨機(jī)微分方程和一類偏微分方程的均勻化.對(duì)倒向隨機(jī)微分方程的研究起源于對(duì)隨機(jī)控制的研究([6])，Pardoux和Peng[37]首次給出一般形

5、式的倒向隨機(jī)微分方程的結(jié)果.此后，由于倒向隨機(jī)微分方程與數(shù)學(xué)金融，隨機(jī)控制和偏微分方程之間的聯(lián)系，該類方程已經(jīng)得到了廣泛的研究，相關(guān)文獻(xiàn)見[23，14，15]及其參考文獻(xiàn).值得注意的是倒向隨機(jī)微分方程為我們研究偏微分方程的均勻化提供了一種概率工具.偏微分方程的均勻化是指這樣一種過程：用新的系數(shù)代替變化較快的的系數(shù)，并且取代后得到的方程的解和原方程的解相近.在第四章中，受到一類含馬爾科夫跳的隨機(jī)線性二次最優(yōu)控制問題的啟發(fā)，我們考慮一類系數(shù)

6、受馬爾科夫鏈干擾的倒向隨機(jī)微分方程，并且證明該方程存在唯一解.當(dāng)該馬爾科夫鏈的狀態(tài)空間很大時(shí)，為了區(qū)分不同狀態(tài)問快和慢的轉(zhuǎn)移速率，我們知道可以引入一個(gè)小參數(shù)(ε>0)，從而認(rèn)為該馬爾科夫鏈為含雙時(shí)間尺度的受奇異干擾的馬爾科夫鏈.利用奇異擾動(dòng)技巧和概率逼近的方法，可以得到當(dāng)ε→0時(shí)，受奇異干擾的馬爾科夫鏈的漸近概率分布.更多的細(xì)節(jié)可參照[61].在第四章中，利用這類受奇異干擾的馬爾科夫鏈的漸近概率分布，我們給出了系數(shù)含受奇異干擾的馬爾科夫