噪聲攝動以及正倒向隨機微分方程最優(yōu)控制問題.pdf

1、本文涉及兩個主題:第一部分考慮高維常微分方程小噪聲擾動問題以及一類耦合正倒向隨機微分方程大偏差問題。第二部分研究正倒向隨機微分方程隨機控制相關(guān)問題。
　　在第一章，我們考慮如下常微分方程:
　　{ξ'(t)=b(ξ(t))， t≥0，
　　ξ(0)=x∈Rd，
　　其中b:Rd→Rd。我們有一般的局部存在性理論如果b僅僅滿足連續(xù)性條件（皮亞諾定理）。這種情形下唯一性可能丟失。然而，攝動隨機微分方程，
　　{

2、dXx,ε（t)=b（Xx,ε（t)）dt+εdW(t)， t≥0，
　　Xx,ε(0)=x∈Rd，
　　其中W是一個d-維標準布朗運動，存在唯一的強解，如果我們假設(shè)b滿足連續(xù)有界。此外，當ε→0+，攝動隨機微分方程的解，在某種意義下，收斂到常微分方程的解。對于一維情形，已有大量文獻對這一現(xiàn)象進行了深入的研究。本章的目的在于分析一些高維情形（其技術(shù)稍微區(qū)別一維情形）。當b含有一個孤立點及在零點處不滿足李普希茲條件時，常微分方

3、程可能有無窮多解。我們的主要結(jié)果將表明常微分方程的哪些解可以是隨機微分方程的極限解（當ε→0+）。對于一維情形，類似問題已被大量探討，然而其技術(shù)不能推廣到高維。本章主要的技術(shù)創(chuàng)新在于考慮高維情形。
　　第二章中，我們考慮一類如下帶參數(shù)ε＞0，耦合的正倒向隨機微分方程，
　　{Xε,t,x(s)=x+∫stf(Xε，t,x(r)，Yε，t,x(r))dr+√ε∫stσ(Xε，t,x(r)，Yε,t,x(r））dW(r），Yε,

4、t,x(s)=h（Xε，t,x（T））+∫Tsg（r，Xε，t,x(r），Yε，t,x(r)，Zε,t,x(r))dr-∫TsZε，t,x(r)dW(r),0≤t≤s≤T.我們研究，當ε→0+，時，（Xε，t,x，Yε，t，x）的分布收斂，同時建立Freidlin-Wentzell大偏差原理。
　　需要指出的是，本章結(jié)果將推廣前人的工作，也就是，b和σ能依賴于變量Y。
　　第三章中，我們研究一類線性正倒向隨機控制系統(tǒng)次優(yōu)控制

5、問題，其中漂移項和擴散項可以要求依賴控制變量以及控制域非凸。我們建立對于次優(yōu)控制新的龐特里亞金隨機最大值原理的必要及充分條件。本章主要貢獻基于我們能考慮控制域非凸以及擴散項含控制。
　　第四章，我們研究以下擬線性隨機偏微分方程:{-du(t,x)=infv∈U{(b(t,x,v),Du(t,x))+f(t,x,u(t，x),γ1(t，x),γ2(t,x),v)}+tr[1/2[σσ*(t，x)+ππ*(t，x)]D2u(t，x)]

6、+(π(t，x)，DΨ2(t，x))+(σ(t，x),DΨ1(t，x))dt-Ψ1(t,x)dWt-Ψ2(t,x)dWt,u(T,x）=Φ(x),(t,x)∈[0,T]×Rn,其中γ1(t，x)(△)Ψ1(t，x)+Du(t，x)σ(t，x)，γ2(t，x)(△)Ψ2(t，x)+ Du(t，x)π(t，x).我們得到以上隨機H-J-B方程解的存在及唯一性，同時給出最優(yōu)控制驗證表示。
　　第五章中，我們研究漂移項，擴散項以及倒向隨機