高維倒向隨機微分方程、正倒向隨機微分方程及其應(yīng)用.pdf

1、在過去的二十多年里，倒向隨機微分方程理論備受大家的關(guān)注。線性的倒向隨機微分方程是由Bismut([6])1973年首次引入。1990年，Pardoux和Peng([37])首先證明了非線性倒向隨機微分方程的存在唯一性。隨后，倒向隨機微分方程被廣泛的應(yīng)用于應(yīng)用及理論方面的研究，特別是在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域。這篇論文旨在發(fā)展倒向隨機微分方程和正倒向隨機微分方程理論。
　　 在過去的幾十年中，雖然倒向隨機微分方程理論得到了長足的進步，但是人們

2、還是更多的研究1維倒向隨機微分方程，而高維的倒向隨機微分方程很少被人所研究。研究高維倒向隨機微分方程的最大困難在于沒有更加-般的比較定理。實值倒向隨機微分方程的比較定理成為該領(lǐng)域比較經(jīng)典的幾個結(jié)果之一。該定理最早是由Peng([41])給出，隨后Pardoux和Peng([38])以及E1 Karoui-Peng-Quenez([16])給出了更加一般的結(jié)果。比較定理告訴我們：當(dāng)我們比較實值倒向隨機微分方程的兩個解得時候，我們只需要比較

3、其生成元及終端值。1994年，在“擬單調(diào)條件下”，Christel和Ralf([12])證明了有限維及無窮維隨機微分方程的比較定理。運用類似的方法，1999年，周([60])得到了在有限時間區(qū)間內(nèi)的多維倒向隨機微分方程的比較定理。2006年，運用導(dǎo)向隨機生存性，Hu和Peng給出了多維倒向隨機微分方程成立的充要條件。2009年，運用類似的“擬單調(diào)條件下”，Wu-和Xu([52])給出了多維正倒向隨機微分方程的比較定理。在第二章，在沒有“

4、擬單調(diào)條件”的情形下，我們試著去討論高維倒向隨機微分方程的比較定理。我們還將討論高維的、關(guān)于變量z二次增長的倒向隨機微分方程，并將研究其對應(yīng)的偏微分方程。
　　 總所周知，在許多情形下，-個問題的可解性與某一正倒向形式的隨機微分方程的可解性是等價的，然而這一形式的正倒向隨機微分方程往往超出了現(xiàn)有的結(jié)果。另一方面，大家都知道，標(biāo)準(zhǔn)的Lipschitz條件并不能保證正倒向隨機微分方程的可解性。因此，大家越來越清醒的認(rèn)識到，對于這一問

5、題的理解和研究需要更新的視角和觀點，大家更加期盼能有一種統(tǒng)一的方法來解決這一問題。
　　 到目前為止，基本上有三種方法去解正倒向隨機微分方程：(ⅰ)壓縮影像方法。這一方法最初是由意大利人Antonelli[2]提出，后來Pardoux和Tang([36])對這一方法給出了更加細(xì)致的解釋，但這一方法只能解釋當(dāng)時間區(qū)間T相對小的情形。(ⅱ)四步框架法。這一方法最初是由Ma-Protter-Yong([30])給出。對于Markovi

6、an形式的正倒向隨機微分方程，這一方法是第一個在任意時間區(qū)間上給出解得方法。其缺點是要求其系數(shù)需要滿足一定的光滑性條件，以使得“部分耦合”的偏微分方程有經(jīng)典解。(ⅲ)連續(xù)性方法。Hu-Peng[20]及Peng-Wu[45]所提出。后來Yong[54]發(fā)展了該方法。該方法可以去解決任意時間區(qū)間、非Markovian形式的正倒向隨機微分方程。這一方法要求其系數(shù)需滿足所謂的“單調(diào)條件”。這一條件完全的區(qū)別于其他的方法。關(guān)于這三種方法更加細(xì)致

7、的解釋可以參閱(cf.[33])。在這本書中將會解釋這三種方法之間是不重合的。
　　 第三章，參照[15]and[59]的方法，我們將會對一般的正倒向隨機微分方程給出系統(tǒng)的分析。我們的主要工具是使得Yt=u(t，Xt)成立的“decoupling field”。我們需要強調(diào)u的一致Lipschitz性在證明過程中起了舉足輕重的作用。我們將會給出所謂的“decoupling field”存在的充要條件?！癲ecoupfing fi

8、eld”保證了正倒向隨機微分方程的可解性。我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的所有的結(jié)果，都可以運用我們的結(jié)果給出解釋，在線性正倒向隨機微分方程、系數(shù)為確定的情形下，我們的條件也是必須的。
　　 最優(yōu)控制問題在實際問題當(dāng)中擁有廣泛的應(yīng)用。在正想控制系統(tǒng)中，布朗運動作為噪聲源的線性二次問題是非常著名的控制問題，關(guān)于這一問題的經(jīng)典理論業(yè)已得到。最近，倒向線性二次最優(yōu)控制問題越來越受到大家的關(guān)注，比如(Lim，Zhou([1]))。另一方面，這一問題在經(jīng)濟

9、投資問題當(dāng)中很容易被提出。例如，在金融市場中，當(dāng)我們考慮用注入和撤出資金來對沖某一未定權(quán)益的時候，研究最優(yōu)消費選擇問題，很自然的就引入了倒向的隨機控制問題。
　　 這篇論文旨在研究高維倒向隨機微分方程，正倒向隨機微分方程及其應(yīng)用。我們將會得到一類高維倒向隨機微分方程的比較定理，得到高維的、生成元關(guān)于變量z二次增長、變量y線性增長的倒向隨機微分方程的解得存在唯一性。我們還將研究在一般的非Markovian形式的正倒向隨機微分方程的

10、可解性。我們得到，現(xiàn)有的大部分的結(jié)果都可以用我們的結(jié)果給出解釋。
　　 本文共分五章，以下是本文的結(jié)構(gòu)和得到的主要結(jié)論：
　　 第一章：介紹從第二章到第五章我們討論的問題，背景，及想法。
　　 Chapter2：我們將研究一類高維倒向隨機微分方程的比較定理，得到高維的、生成元關(guān)于變量z二次增長、變量y線性增長的倒向隨機微分方程的解得存在唯一性定理2.3.4.(高維倒向隨機微分方程的比較定理)設(shè)f滿足假設(shè)2.3.對