帶限制的倒向隨機(jī)微分方程及相關(guān)問(wèn)題.pdf

1、1990年，Pardoux-Peng(1990)提出了一般形式的非線性倒向隨機(jī)微分方程,并解決了其解的存在唯一性問(wèn)題. Peng(1997)通過(guò)該方程引入了一類特殊的域流相容的非線性期望一化期望.后來(lái)El Karoui-Peng-Quenez(1997)，Chen-Epstein(2002)等發(fā)現(xiàn)倒向隨機(jī)微分方程是解決經(jīng)濟(jì)金融問(wèn)題的有力工具.此后,倒向隨機(jī)微分方程理論成為隨機(jī)分析、控制論、金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的重要研宄熱點(diǎn)之一.本文主要研宄:

2、一般時(shí)間區(qū)間反射倒向隨機(jī)微分方程的基本問(wèn)題一解的存在唯一性及其相關(guān)性質(zhì)；一般時(shí)間區(qū)間上g-期望的逆問(wèn)題一滿足何種適當(dāng)條件的域流相容非線性期望是g-期望；倒向隨機(jī)微分方程的生存性質(zhì)及其應(yīng)用.我們圍繞以上三個(gè)基本問(wèn)題開展研宄,做了深入探索并獲得了相關(guān)的系列結(jié)果.
　　在第二章,我們首先證明了一般時(shí)間區(qū)間半鞅的單調(diào)極限定理：在Brown運(yùn)動(dòng)形成的域流框架下,一般時(shí)間區(qū)間上軌道右連左極的單調(diào)半鞅序列的極限依然是右連左極的半鞅.這是我們得到

3、的關(guān)鍵結(jié)論之一，以此為工具我們獲得了一般區(qū)間受限倒向隨機(jī)微分方程最小&上解的存在性.接著,證明了一般時(shí)間區(qū)間、障礙Lp-可積、生成元一致連續(xù)的一維反射倒向隨機(jī)微分方程Lp-解的存在唯一性定理;進(jìn)一步地,說(shuō)明了若方程的下障礙連續(xù),則其解也連續(xù).而且對(duì)不同參數(shù)的反射倒向隨機(jī)微分方程,得到了解的比較定理.本章采用的方法是Peng-Xu(2005)和Peng(1999)中技術(shù)的非平凡發(fā)展，同時(shí)得到的主要結(jié)果也是他們結(jié)論的非平凡推廣.
　　

4、在第三章,利用第二章的結(jié)論,我們將一維反射倒向隨機(jī)微分方程-解的存在唯一性定理推廣到了生成元隨機(jī)Lipschitz連續(xù)的多維反射倒向隨機(jī)微分方程.并在一維情形下,通過(guò)一個(gè)新形式的倒向隨機(jī)Gronwall不等式,得到了方程解的比較定理.另外，我們也得到了一般區(qū)間多維斜反射倒向隨機(jī)微分方程Lp-解的存在唯一性以及該形式的方程和最優(yōu)轉(zhuǎn)換問(wèn)題的聯(lián)系.進(jìn)一步,借助于該聯(lián)系,在生成元g滿足一般時(shí)間區(qū)間版本的Lipschitz條件下,我們?nèi)サ袅薵的每

5、一分量只依賴于變量y的相應(yīng)分量的假設(shè),通過(guò)在一個(gè)合適的過(guò)程空間中構(gòu)造壓縮映射的辦法得到方程LP-解的存在唯一性.我們也說(shuō)明了如何利用斜反射方程解決允許提前退出的多模式一般最優(yōu)轉(zhuǎn)換問(wèn)題.在多維情形下的反射倒向隨機(jī)微分方程方面,本章的結(jié)果與現(xiàn)有的結(jié)果（有限時(shí)間區(qū)間、一致Lipschitz生成元、平方可積參數(shù)以及連續(xù)下障礙情形）相比有顯著進(jìn)展.
　　在第四章,我們對(duì)一般區(qū)間上的動(dòng)態(tài)相容性非線性算子做了系統(tǒng)研宄,借助第二章的單調(diào)極限定理建

6、立了一般區(qū)間上右連左極g-上鞅的非線性Doob-Meyer型分解.并解決了g-期望在一般時(shí)間區(qū)間和Lp-可積框架下的逆問(wèn)題：如果域流相容非線性期望滿足平移不變和受控條件，則它是一個(gè)g-期望.該結(jié)果是Peng(1999)和Coquet-Hu-Mdmin-Peng(2002)中的結(jié)論在一般時(shí)間區(qū)間和LP-可積框架下的一般化和推廣.另外,我們給出了與一致風(fēng)險(xiǎn)度量密切相關(guān)的次線性g-期望穩(wěn)健表示的更一般結(jié)果.
　　在第五章，我們?nèi)サ袅薆u

7、ckdahn-Quincampoix-Rlgcanu(2000)中附加的關(guān)于生成元更強(qiáng)可積性和連續(xù)性的兩個(gè)前提假設(shè),在基本條件下給出了多維倒向隨機(jī)微分方程生成元的表示定理以及其生存性成立的充分必要條件.利用生存性質(zhì)，我們得到了多維向量空間在兩個(gè)不同序下（通常的半序和關(guān)于單位向量投影的全序）倒向隨機(jī)微分方程解的比較定理和嚴(yán)格比較定理（據(jù)我們所知，該形式的多維嚴(yán)格比較定理是首次得到的).而且也得到了在這兩個(gè)序下解的反比較定理.另外,我們也獲