倒向隨機微分方程在經濟金融優(yōu)化問題中的應用.pdf

1、本論文研究的是倒向隨機微分方程(BSDEs)在經濟和金融相關優(yōu)化問題中的應用。我們知道倒向隨機微分方程理論是由Pardoux和Peng在論文[62]建立的。從起源上看，研究引入倒向隨機微分方程的主要目的就是為了解決隨機控制問題，也就是研究隨機最大值原理。因此在此之后有許多與倒向隨機微分方程有關的隨機控制理論方面的研究，在這些研究當中，隨機最大值原理總是主要的技術方面的研究控制問題工具。許多的研究及其成果還擴展到其他的領域，例如經濟和金融

2、，這使得倒向隨機微分方程理論成為跨學科的成果，在經濟和金融領域里許多優(yōu)化問題會應用倒向隨機微分方程來解決。
　　本論文解決了三個分別覆蓋微觀經濟學，宏觀經濟學和行為金融學領域的熱點問題。本文中第一個微觀經濟學問題是一個關于長期委托人-代理人問題(principal-agent問題，簡稱PA問題)或者稱是長期契約問題(contracting problem)。這個問題中，契約雙方對項目質量，或是代理人質量（如能力等）具有對稱不確定性

3、（即項目中的有關質量參數(shù)是未知的），并且代理人有隱藏行動(hidden action)。此外，我們還假設代理人對新息(innovation)布朗運動的分布不確定。也就是說，給定新息后（學習后），代理人對項目的產出或是現(xiàn)金流分布不確定。因此我們第一個問題是解決一個風險中性委托人如何設計一個合同，使自己的效用（即利潤）最大化，并且設計最優(yōu)合同是受同時具有風險厭惡和模糊厭惡的代理人動機(incentive)約束。在歷史上，Holmstrom和

4、Milgrom[38]第一個在連續(xù)時間框架下解決隱藏行動問題，或者我們稱為道德風險(moral hazard)問題。Sannikov[70]在給代理人的酬勞按連續(xù)時間率支付的假設下給出了一種解決道德風險問題的易處理方式(tractable way)。這個假設普遍用于在隨后至今的連續(xù)時間模型中。Prat和Jovanovic[68]以及He et al[37]分別研究需要雙方學習項目中未知代理人能力的契約問題。Prat和Jovanovic[

5、68]研究的是非穩(wěn)定學習，而He et al[37]聚焦于穩(wěn)定學習情況。Miao和Rivera[61]研究了一個穩(wěn)健合同(robust contract)情況，然而他們關注的是委托人面對模糊的情況，而不是代理人。相反的，我們認為由于作為專業(yè)管理人員的代理人對環(huán)境具有更多的經驗和知識，他更清楚明白自己所面臨的復雜環(huán)境，因此是代理人能意識到模糊性。并且，我們采用的是Chen-epstein[9]方法來處理模糊性。所以，我們的模型同時考慮關于

6、項目質量的學習以及模糊的情況，這使我們考慮的問題更加符合復雜現(xiàn)實的世界。
　　在這個契約問題中關鍵難點是怎樣給出合同滿足動機相容(incentive compatiblecontract，簡稱IC)條件的必要條件。合同的動機相容性實質上是代理人控制問題。我們能證明本質上我們可以把這個得到必要條件的問題等價于解一個比倒向隨機微分方程系統(tǒng)更加復雜的正倒向隨機微分方程(FBSDEs)的隨機控制問題。詳細的說，我們需要用Cvitani(c

7、)和Zhang[15]中介紹的最大值原理來解決正倒向隨機微分方程控制問題。但是我們在模糊下的動態(tài)合約模型誘導出的正倒向隨機微分方程是非光滑的:倒向方程的漂移項關于狀態(tài)變量不是連續(xù)可微的。連續(xù)可微條件是隨機最大值原理證明過程中所用的變分法所必須的，因為第一步是對狀態(tài)變量進行微分。因此此問題中我們數(shù)學上的技術貢獻是通過使用非光滑分析中的廣義導數(shù)方法，解決了上述難題，并得到了代理人問題的一階必要條件。我們用兩個分別包含一個信息租金(infor

8、mation rent)集合中的上界和下界的方程來表示這個必要條件，而經典正倒向隨機微分方程控制問題的結果中只有一個方程。正是由于模糊使我們得到一個信息租金集合，因為模糊下我們會得到一族關于代理人連續(xù)價值的最壞情況概率(worst-case beliefs)。經濟上來說我們的必要條件是按照一種穩(wěn)健形式(robust form)展示的。更重要的是，在把必要條件作為求解最終委托人最優(yōu)合同問題的控制限制后，我們能夠用動態(tài)規(guī)劃方法得到一個HJB

9、方程。并且我們能夠解出這個HJB方程，即一個偏微分方程(PDE)的顯式解，這也同時意味著我們能夠得到最優(yōu)合同的具體數(shù)學形式。所以我們最后能夠很方便的詳細分析合同內容并且得到了很多重要的經濟意義和結果。
　　第一個問題的研究成果是我在美國波士頓大學經濟系為期一年的訪問學者期間完成的。合作作者是來自波士頓大學的苗建軍教授和來自山東大學的嵇少林教授:
　　Dynamic Contracts with Learning under

10、Ambiguity,with Shaolin Ji and JianjunMiao,Boston University working paper.
　　第二個宏觀經濟學問題是關于在連續(xù)時間框架下如何實施帶零利率下界限制的有承諾的(under commitment)最優(yōu)貨幣政策。在名義利率上實施的零利率下界限制在解決流動性陷阱問題時是非常常用的，最現(xiàn)實的例子就是美國自2008年經濟危機后至今所面臨的流動性陷阱情況。自那場危機以后，

11、美國聯(lián)邦儲備委員會（美國央行）將名義利率迅速降到零利率附近以緩和經濟衰退，并將零利率保持至今（直到2015年第四季度才宣布加息25個基準點）。結果是，名義利率在零點附近而不能繼續(xù)下降，因此以利率為調控手段的貨幣政策失效。
　　我們用新凱恩斯模型來研究隨機連續(xù)時間框架下的最優(yōu)貨幣政策。歷史上，新凱恩斯模型來自于Eggertsson和Woodford[19]，Woodford[78]以及Gali[26]所建立的離散時間公式。Clari

12、da，Gali和Gerlter[11]從不帶零利率下界的離散時間模型來研究新凱恩斯主義下的最優(yōu)貨幣政策。Adam和M.Billi[1]在離散時間框架下研究帶零利率下界的具有承諾性的最優(yōu)貨幣政策。Ivan Werning[75]研究了在流動性陷阱中帶零利率下界的連續(xù)時間框架下的最優(yōu)貨幣政策問題，但是他構建的是確定性模型。
　　我們研究的問題中經濟模型被轉化成了解決無窮時間區(qū)間下倒向隨機微分方程的控制問題。Shi和Peng[66]研究

13、了無窮時間區(qū)間的正倒向隨機微分方程，Haadem和Oksendal[30]研究了無窮時間區(qū)間下的最大值原理，但是這些方程中的參數(shù)條件都過于嚴格，不適用于我們的模型。所以在解決此問題中我們的技術貢獻是:(1)我們研究了無窮時間區(qū)間下在我們構造的最優(yōu)貨幣政策模型中倒向隨機微分方程解的存在性。其中關鍵點就在于如何構造方程相應終端條件(transversality condition)以保證可行控制集合是非空的，否則的話這個控制問題就是無意義的

14、(ill-posed);(2)我們得到了最優(yōu)解的必要條件，即得到了相應的伴隨方程和無窮時間框架下此控制問題最優(yōu)解滿足的漢密爾頓函數(shù)(Hamiltonian);(3)我們還給出了極限條件來保證無窮時間下的控制問題中的必要條件也是充分條件。因此我們可以分析最終得出的充要條件，從而得出相應的關于最優(yōu)貨幣政策的經濟暗示。
　　這一部分的工作來自于我和山東大學嵇少林教授的工作論文:
　　Proposal on optimal mone

15、tary policy under commitment withzero lower bound incontinuous setting,with Shaolin Ji.
　　第三個行為金融問題是關于解決一個g-期望下的最優(yōu)投資組合選擇問題。在此問題中，投資者的效用函數(shù)滿足Inada條件。我們的模型是基于以前的Jin和zhou[46]的研究，但是我們在這里用的是g-期望，一種非線性期望來代替他們文章中的非線性概率扭曲。這種非線

16、性期望可以刻畫類似于第一章中代理人所面臨的模糊情況。具體到模型上來說，我們用由Peng[64]引入的g-期望來代替Jin和zhou[46]中用的Choquet期望。此外，我們用了不同的S型效用函數(shù)和g-函數(shù)來分別構造表示投資者對待損失和盈利所不同的不確定性態(tài)度。
　　從控制論的角度上講，我們建模的行為金融問題是倒向隨機微分方程的終端變量為控制變量，在一個成本函數(shù)約束下的最大化倒向隨機微分方程零時刻解的控制問題。為了解決這個與倒向隨

17、機微分方程有關的控制問題，我們用Ji和Peng[42]以及Ji和Zhou[43，44]介紹的終端攝動方法。然而，在我們模型中用這個方法來得到控制問題的最優(yōu)解的必要條件會遇到一些技術性難題。因為我們的效用函數(shù)在Inda條件假設下在零點的一階導數(shù)是正無窮。因此，相應的終端攝動方法過程中的可積性和收斂性結果就不存在了。因此在解決這個問題中我們的技術貢獻是我們沒有直接用終端攝動方法，而是用反證法解決處理了這些技術性難題。我們找到一個反例，在這個