2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

1、12010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試一、填空題（每小題一、填空題（每小題8分，共分，共6464分，分，）1.函數(shù)的值域是.xxxf3245)(????2.已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.xxaysin)3cos(2??3?a3.雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點(diǎn)（縱橫坐122??yx100?x標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是.4.已知是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中na0nb，且存在常數(shù)使得對(duì)每一個(gè)正

2、整數(shù)都有，352211313bababa??????n????nnbalog則.????5.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為8，則它在這個(gè))10(23)(2?????aaaaxfxx]11[??x區(qū)間上的最小值是.6.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個(gè)使兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是.7.正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點(diǎn)，二面角111CBAABC?P1CC則.????11BPAB??sin8.方程滿

3、足的正整數(shù)解（xyz）的個(gè)數(shù)是.2010???zyxzyx??二、解答題（本題滿分二、解答題（本題滿分5656分）分）9.9.（1616分）分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，試求)0()(23?????adcxbxaxxf10??x1)(??xf的最大值.a10.10.（2020分）分）已知拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且xy62?1122()()AxyBxy和21xx?.線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值.421??xxABxCABC?11.1

4、1.（2020分）分）證明：方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且存在唯一的嚴(yán)格遞增正整數(shù)02523???xxr數(shù)列，使得.na?????32152aaarrr解答35.提示：令則原函數(shù)化為在上是遞增的.41?yax?23)(2???yyyg)(yg3()2??當(dāng)時(shí)，10??a][1??aay，211max1()32822gyaaaa???????????所以；412213)21()(2min??????yg當(dāng)時(shí)，，1?a][1aay??，2823)(

5、2max??????aaayg所以.412232)(12min????????yg綜上在上的最小值為.)(xf]11[??x41?6.提示：同時(shí)投擲兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概12171273621?率為.??????127)125(127)125(1274217121442511127????7.提示：解法一解法一：如圖，以所在直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在104ABxABOOC直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正

6、三棱柱的棱長為2，則y，從而，)130()201()201()001(11PABB?.)131()002()131()202(1111?????????PBABBPBA設(shè)分別與平面、平面垂直的向量PBA1PAB11是、，則)(111zyxm?)(222zyxn?????????????????03022111111zyxBPmzxBAm???????????????03022221211zyxPBnxABn由此可設(shè)，所以)310()10