數(shù)學(xué)競賽講座35 最經(jīng)典的奧數(shù)講座

1、1競賽講座35－“設(shè)而不求設(shè)而不求”的未知數(shù)的未知數(shù)所謂“設(shè)而不求”的未知數(shù)，又叫輔助元素，它是我們?yōu)榻鉀Q問題增設(shè)的一些參數(shù)，它能起到溝通數(shù)量關(guān)系，架起連接已知量和未知量的橋梁作用例1若==求c十y十z的值。分析已知條件是以連比的形式出現(xiàn)時(shí)，往往引進(jìn)一個(gè)比例參數(shù)來表示這個(gè)連比解令=＝＝k則：x=k(ab)，y=k(bc)，z=k(ca).所以xyz=k(ab)k(bc)k(ca)＝0說明本例中所設(shè)的k，就是“設(shè)而不求”的未知數(shù)例2甲、乙

2、二人在一圓形跑道上跑步，甲用40秒鐘就能跑完一圈，乙反向跑，每15秒鐘和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少時(shí)間分析要求乙跑完一圈需要多少時(shí)間，就必須知道他的速度V米秒，因此可以選擇V作參數(shù)解設(shè)乙跑完一圈需x秒，乙跑步的速度是V米秒，根據(jù)題意，則一圈的總路程可以用vx表示，甲的速度可用表示∴(15)15V=Vx∵V≠0，∴(15)15V=x∴x=24.答：乙跑完一圈需要24秒。3是減函數(shù)當(dāng)＞0時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，它們分別是)

3、(xfacb42?x（），（）；=0時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有0242aacbb???0242aacbb???acb42?x兩個(gè)重合的交點(diǎn)（－0）這時(shí)也稱拋物線與軸相切＜0時(shí)函數(shù)的圖象與ab2xacb42?軸沒有交點(diǎn)x函數(shù)的圖象是連續(xù)的一個(gè)有用的結(jié)論是，在區(qū)間[])0()(2????acbxaxxfqp端點(diǎn)處的函數(shù)值異號，即＜0時(shí)方程=0在（）內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)根拋)()(qfpf?)(xfqp物線的凸性也有一定用途，＞0時(shí)，函數(shù)的圖象是下凸形曲線

4、，即對于任意，aRxx?21有≤；＜0時(shí)函數(shù)的圖象是上凸形曲線，即對于任意)2(21xxf?2)()(21xfxf?a，有≥利用二次函數(shù)圖象的凸性和單調(diào)性，在某些Rxx?21)2(21xxf?2)()(21xfxf?與二次方程的范圍有關(guān)的問題中可避免使用判別式和求根公式一含有參變數(shù)的二次函數(shù)對于二次函數(shù)，當(dāng)、、固定時(shí)，此二次函數(shù)唯一確)0()(2????acbxaxxfabc定，它的圖象是一條拋物線；若、固定時(shí)，可以在某個(gè)范圍內(nèi)變動(dòng)，則

5、它的圖象可bca能是“一族”拋物線，對于、、的不同范圍和條件，得到的拋物線族具有不同的特abc征，如何確定這些特征，就因題而異了例題分析：1集合=，=，，求實(shí)數(shù)的A42|2???xxyyBaxaxyy42|2???A?Ba取值集合解：、分別表示函數(shù)與函數(shù)的值域由AB422???xxyaxaxy422???≥3知=[3，＋∞）而受參數(shù)的影響，要進(jìn)行討論3)1(4222?????xxxABa=0時(shí)，，值域是符合條件axy2??RA?B≠0時(shí)