高中數(shù)學(xué)競賽講座20講

1、第1頁共115頁競賽講座競賽講座01－奇數(shù)和偶數(shù)－奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)中，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，反之是奇數(shù)，偶數(shù)可用2k表示，奇數(shù)可用2k1表示，這里k是整數(shù).關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：（1）奇數(shù)不會同時是偶數(shù)；兩個連續(xù)整數(shù)中必是一個奇數(shù)一個偶數(shù)；（2）奇數(shù)個奇數(shù)和是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個偶數(shù)的和是偶數(shù)；（3）兩個奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；一個偶數(shù)與一個奇數(shù)的差是奇數(shù)；（4）若a、b為整數(shù)，則ab與ab有相同的奇數(shù)偶；（5）n個

2、奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個偶數(shù)的乘積是2n的倍數(shù)；順式中有一個是偶數(shù)，則乘積是偶數(shù).以上性質(zhì)簡單明了，解題時如果能巧妙應(yīng)用，常常可以出奇制勝.1.代數(shù)式中的奇偶問題例1（第2屆“華羅庚金杯”決賽題）下列每個算式中，最少有一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，那么這12個整數(shù)中，至少有幾個偶數(shù)？□□=□，□□=□，□□＝□□□＝□.解因為加法和減法算式中至少各有一個偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個偶數(shù)，故這12個整數(shù)中至少有六個偶數(shù).例2（第1屆“祖沖之杯”

3、數(shù)學(xué)邀請賽）已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組是整數(shù)，那么（A）p、q都是偶數(shù).（B）p、q都是奇數(shù).第3頁共115頁要排最大的十位數(shù)，妨先排出前四位數(shù)9876，由于偶數(shù)位五個數(shù)字之和是17，現(xiàn)在86=14，偶數(shù)位其它三個數(shù)字之和只能是1714=3，這三個數(shù)字只能是2，1，0.故所求的十位數(shù)是9876524130.例6（1990年日本高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)a、b是自然數(shù)，且有關(guān)系式123456789=（11111a）（11111b），①證明ab是

4、4的倍數(shù).證明由①式可知11111（ab）=ab4617②∵a＞0b＞0∴ab＞0首先，易知ab是偶數(shù)，否則11111(ab)是奇數(shù)，從而知ab是奇數(shù)，進而知a、b都是奇數(shù)，可知(11111a)及(11111b)都為偶數(shù)，這與式①矛盾其次，從ab是偶數(shù)，根據(jù)②可知ab是偶數(shù)，進而易知a、b皆為偶數(shù)，從而ab4617是4的倍數(shù)，由②知ab是4的倍數(shù).3.圖表中奇與偶例7（第10屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）在33的正方格（a）和（b）中，每格