《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽》數(shù)列

1、1競(jìng)賽輔導(dǎo)競(jìng)賽輔導(dǎo)數(shù)列數(shù)列(等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要課題，也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題。數(shù)列最基本的是等差數(shù)列與等比數(shù)列。所謂數(shù)列，就是按一定次序排列的一列數(shù)。如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)(下標(biāo))n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式an=f(n)來(lái)表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。從函數(shù)角度看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N(或它的有限子集1，2，…n)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)

2、的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。為了解數(shù)列競(jìng)賽題，首先要深刻理解并熟練掌握兩類基本數(shù)列的定義、性質(zhì)有關(guān)公式，把握它們之間的(同構(gòu))關(guān)系。一、等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：)1()1(1dnaan???前n項(xiàng)和公式為：)2(2)1(2)(11dnnnaaanSnn?????從(1)

3、式可以看出，是的一次數(shù)函()或常數(shù)函數(shù)()，(nan0?d0?d)排在一條直線上，由(2)式知，是的二次函數(shù)()或一次函nannSn0?d數(shù)()，且常數(shù)項(xiàng)為0。在等差數(shù)列中，等差中項(xiàng)：001??adna且任意兩項(xiàng)的關(guān)系為：221????nnnaaanmaadmnaamn)(???它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。3??121121212321123121)()(::321??????????????????????????nnnnnnn

4、nnmqpknknnnaaaaaaaaaaNqpnmnkaaaaaaaa???則有記則有若???另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說(shuō)：一個(gè)正項(xiàng)等naCnaC比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。重要的不僅是兩類基本數(shù)列的定義、性質(zhì)，公式；而且蘊(yùn)含于求和過(guò)程當(dāng)中的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)智慧，也是極其珍貴的，諸如“倒排相加”(等差

5、數(shù)列)，“錯(cuò)位相減”(等比數(shù)列)。數(shù)列中主要有兩大類問(wèn)題，一是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，二是求數(shù)列的前n項(xiàng)和。三、范例例1設(shè)ap，aq，am，an是等比數(shù)列an中的第p、q、m、n項(xiàng)，若pq=mn，求證：nmqpaaaa???證明：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則na1anmqpnmnmqpqpnnmmqqppaaaaqaaaqaaaqaaqaaqaaqaa?????????????????????????::22122111111111故所以