高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題講座（解析幾何）

1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題講座（解析幾何）高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題講座（解析幾何）一、基礎(chǔ)知識(shí)1橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡，即|PF1||PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線(xiàn)的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0b0)，12222??byax參數(shù)方程為（為參數(shù)）。???????sincosbyax?若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為(ab0)。12222

2、??byay3橢圓中的相關(guān)概念，對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，12222??byaxa稱(chēng)半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，b稱(chēng)半短軸長(zhǎng)，c稱(chēng)為半焦距，長(zhǎng)軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a0)(0b)(c0)；與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)（即第二定義中的定直線(xiàn)）為cax2??，與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)為；定義中的比e稱(chēng)為離心率，且，由c2b2=a2知cax2?ace?0b0)F1(c0)F2(c0)是它的兩焦點(diǎn)。若??2222byaxP(xy)是橢圓上的任意一點(diǎn)，

3、則|PF1|=aex|PF2|=aex.5幾個(gè)常用結(jié)論：1）過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(x0y0)的切線(xiàn)方程為F叫焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。若取經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線(xiàn)l的直線(xiàn)為x軸，x軸與l相交于K，以線(xiàn)段KF的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0)，離心率e=1.)02(p2px??11拋物線(xiàn)常用結(jié)論：若P(x0y0)為拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)，1）焦半徑|PF|=；2px?2）過(guò)點(diǎn)

4、P的切線(xiàn)方程為y0y=p(xx0)；3）過(guò)焦點(diǎn)傾斜角為θ的弦長(zhǎng)為。?2cos12?p12極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為O，從O出發(fā)的射線(xiàn)為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，記|OP|=ρ∠x(chóng)OP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點(diǎn)P的位置，（ρ，θ）稱(chēng)為極坐標(biāo)。13圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P，若01，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)的一支；若e=1，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線(xiàn)。這三種圓錐

5、曲線(xiàn)統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。??cos1eep??二、方法與例題1與定義有關(guān)的問(wèn)題。例1已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)1162522??yx3|PA|5|PF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。[解]見(jiàn)圖111，由題設(shè)a=5b=4c==3.橢圓左準(zhǔn)線(xiàn)的方程為2245?53??ace，又因?yàn)椋渣c(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，0），過(guò)P作325??x1161254??PQ垂直于左準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為Q。由定義知，則|PF|

6、=|PQ|。53||||??ePQPF35所以3|PA|5|PF|=3(|PA||PF|)=3(|PA||PQ|)≥3|AM|(AM左準(zhǔn)線(xiàn)于M)。35?所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，3|PA|5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為4155??x)14155(?例2已知P，為雙曲線(xiàn)C：右支上兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)交右準(zhǔn)線(xiàn)于K，PF1P12222??byaxPP延長(zhǎng)線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于Q，（F1為右焦點(diǎn)）。求證：∠F1K=∠