高中數(shù)學競賽講義+完美數(shù)學高考指導

1、高中數(shù)學競賽講義高中數(shù)學競賽講義完美數(shù)學高考指導完美數(shù)學高考指導(一)高中數(shù)學競賽講義（一）高中數(shù)學競賽講義（一）──集合與簡易邏輯一、基礎知識一、基礎知識定義1一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合A中，稱屬于A，記為，否則稱不屬于A，記作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的

2、集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內并用逗號隔開表示集合的方法，如1，2，3；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內表示集合的方法。例如有理數(shù)，分別表示有理數(shù)集和正實數(shù)集。定義2子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為，例如。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A

3、是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。定義3交集，定義4并集，定義5補集，若稱為A在I中的補集。定義6差集，。定義7集合記作開區(qū)間，集合記作閉區(qū)間，R記作定理1集合的性質：對任意集合A，B，C，有：（1）（2）；（3）（4）【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。（1）若，則，且或，所以或，即；反之，，則或，即且或，即且，即（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有【解】依題設，，再由解得或，因為

4、，所以，所以，所以或2，所以或3。因為，所以，若，則，即，若，則或，解得綜上所述，或；或。4計數(shù)原理的應用。例4集合A，B，C是I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合對（A，B）的個數(shù)；（2）求I的非空真子集的個數(shù)?！窘狻浚?）集合I可劃分為三個不相交的子集；AB，BA，中的每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，所以集合對有310個。（2）I的子集分三

5、類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個，非空真子集有1022個。5配對方法。例5給定集合的個子集：，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加I的任何一個其他子集后將不再具有該性質，求的值?！窘狻繉的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得對，每一對不能同在這個子集中，因此，；其次，每一對中必有一個在這個子

6、集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設為C1A與A，并設，則，從而可以在個子集中再添加，與已知矛盾，所以。綜上，。6競賽常用方法與例問題。定理4容斥原理；用表示集合A的元素個數(shù)，則，需要xy此結論可以推廣到個集合的情況，即定義8集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫I的一個劃分。定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6抽屜原理：將個元素放入個抽屜，必有一個抽屜放有不少于個元素，也必有一個抽屜放有不多于個元素；將無窮多個