[學(xué)習(xí)]統(tǒng)計(jì)學(xué)6、區(qū)間估計(jì)

1、教學(xué)重點(diǎn),教學(xué)過(guò)程,教學(xué)總結(jié),第4章 區(qū)間估計(jì),STAT,,,STAT,一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，每天的產(chǎn)量約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應(yīng)不低于100克，否則即為不合格。為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，企業(yè)設(shè)有質(zhì)量檢查科專門負(fù)責(zé)質(zhì)量檢驗(yàn)，并經(jīng)常向企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)提交質(zhì)檢報(bào)告。質(zhì)檢的內(nèi)容之一就是每袋重量是否符合要求。 由于產(chǎn)品的數(shù)量大，進(jìn)行全面的檢驗(yàn)是不可能的，可行的辦法是抽樣，然后用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)平均每袋的重量。質(zhì)檢

2、科從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，下表1是對(duì)每袋食品重量的檢驗(yàn)結(jié)果。,實(shí)踐中的統(tǒng)計(jì),,,STAT,根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，質(zhì)檢科估計(jì)出該天生產(chǎn)的食品每袋的平均重量在101.38~109.34克之間，其中，估計(jì)的可信程度為95%，估計(jì)誤差不超過(guò)4克。產(chǎn)品的合格率在96.07%~73.93%之間，其中，估計(jì)的可信程度為95%，估計(jì)誤差不超過(guò)16%。,,,STAT,質(zhì)檢報(bào)告提交后，企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)人提出幾點(diǎn)意見(jiàn)：一是抽取的樣本大小是否合適？能不能

3、用一個(gè)更大的樣本進(jìn)行估計(jì)？二是能否將估計(jì)的誤差在縮小一點(diǎn)？比如，估計(jì)平均重量時(shí)估計(jì)誤差不超過(guò)3克，估計(jì)合格率時(shí)誤差不超過(guò)10%。三是總體平均重量的方差是多少？因?yàn)榉讲畹拇笮≌f(shuō)明了生產(chǎn)過(guò)程的穩(wěn)定性，過(guò)大或過(guò)小的方差都意味著應(yīng)對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行調(diào)整。,,,在對(duì)總體特征做出估計(jì)時(shí)，并非所有估計(jì)量都是優(yōu)良的，從而產(chǎn)生了評(píng)價(jià)估計(jì)量是否優(yōu)良的標(biāo)準(zhǔn)。作為優(yōu)良的估計(jì)量應(yīng)該符合如下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：1無(wú)偏性 2一致性 3有效性,,,STAT,點(diǎn)估計(jì)的缺點(diǎn)：不能反映

4、估計(jì)的誤差和精確程度區(qū)間估計(jì)：利用樣本統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布估計(jì)總體參數(shù)的可能區(qū)間【例1】CJW公司是一家專營(yíng)體育設(shè)備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務(wù)質(zhì)量， CJW公司每月都要隨即的抽取一個(gè)顧客樣本進(jìn)行調(diào)查以了解顧客的滿意分?jǐn)?shù)。根據(jù)以往的調(diào)查，滿意分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在20分左右。最近一次對(duì)100名顧客的抽樣顯示，滿意分?jǐn)?shù)的樣本均值為82分，試建立總體滿意分?jǐn)?shù)的區(qū)間。8.1.1抽樣誤差抽樣誤差：一個(gè)無(wú)偏估計(jì)與其對(duì)應(yīng)的總體參數(shù)之差的絕對(duì)值。

5、抽樣誤差 = （實(shí)際未知）,4.1總體均值的區(qū)間估計(jì)（大樣本n>30）,,,STAT,4.1.2抽樣誤差的概率表述 由概率論可知， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，有以下關(guān)系式成立：一般稱， 為置信度，可靠程度等，反映估

6、計(jì)結(jié)果的可信程度。若事先給定一個(gè)置信度，則可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布找到其對(duì)應(yīng)的臨界值 。進(jìn)而計(jì)算抽樣誤差,,,STAT,若，則查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得，抽樣誤差 此時(shí)抽樣誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的±3.92的區(qū)間包含總體均值的概率是95%，或者說(shuō)，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。 常用的置信度還有90%，95.45%，99.73%，他們對(duì)應(yīng)的臨界值

7、分別為1.645，2和3，可以分別反映各自的估計(jì)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的精確程度和把握程度。,,,STAT,4.1.3計(jì)算區(qū)間估計(jì)： 在CJW公司的例子中，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。因此，可以構(gòu)建總體均值的區(qū)間為，由于，從一個(gè)總體中抽取到的樣本具有隨機(jī)性，在一次偶然的抽樣中，根據(jù)樣本均值計(jì)算所的區(qū)間并不總是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯(lián)系的。如下圖所示：,,,STAT,,,,,,,,,,,,,,

8、,,3.92,3.92,,,,圖1 根據(jù)選擇的在 、 、 位置的樣本均值建立的區(qū)間,,,STAT,上圖中，有95%的樣本均值落在陰影部分，這個(gè)區(qū)域的樣本均值±3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 因此，總體均值的區(qū)間的含義為，我們有95%的把握認(rèn)為，以樣本均值為中心的±3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 通常，稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對(duì)應(yīng)的置信水平為 置信

9、區(qū)間的估計(jì)包含兩個(gè)部分：點(diǎn)估計(jì)和描述估計(jì)精確度的正負(fù)值。也將正負(fù)值稱為誤差邊際或極限誤差，反映樣本估計(jì)量與總體參數(shù)之間的最大誤差范圍?？偨Y(jié)：,統(tǒng)計(jì)學(xué),解：已知總體服從正態(tài)分布，所以樣本平均值也服從正態(tài)分布。并知， =65， =15，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，與置信水平95%相對(duì)應(yīng)的Z值為1.96，所以總體平均數(shù)置信區(qū)間為：所以我們有95%的把握說(shuō)總體平均數(shù)u介于63.14—66.86千克之間。,第四章,例(1).某廠質(zhì)量管理部門

10、負(fù)責(zé)人希望估計(jì)移交給接收部門的5500 包 原材料的平均重量。一個(gè)由250包原材料組成的隨機(jī)樣本所給出的平均值 ,總體 標(biāo)準(zhǔn)差 =15千克,試構(gòu)造總體未知的平均數(shù) 的置信區(qū)間,假定95%的置信區(qū)間已能令人滿意,并假定總體為正態(tài)分布。,第四章 參數(shù)估計(jì),例2：對(duì)某打土方 的工人作抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽查144個(gè)工人，據(jù)此求得每人每天平均完成工作量為5.25立方米。已知總體服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)

11、差為1.5立方米，試用0.9545概率保證，推斷其全部工人每人每天平均完成工作量介于多少立方米之間？,統(tǒng)計(jì)學(xué),解：已知X—N( ,1.5)即總體服從正態(tài)分布。 X=5.25 n=144 =2 所以我們可以0.9545的概率保證全體工人每人每天平均完成工作量介于5—5.5立方米之間。,,第四章 參數(shù)估計(jì),如圖：

12、 =0.9545 5 5.5 x注意：n>30為大樣本，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 置信水平 (t) 0.6

13、827 1 0.9000 1.645 0.9500 1.96 0.9545 2 0.9973

14、 3 再例：,統(tǒng)計(jì)學(xué),,,,,,,,,,,,記住,,,STAT,4.1.4計(jì)算區(qū)間估計(jì)： 在大多數(shù)的情況下，總體的標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的。根據(jù)抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值，仍然采用上述區(qū)間估計(jì)的方法進(jìn)行總體參數(shù)的估計(jì)。,,,STAT,【例2】 斯泰特懷特保險(xiǎn)公司每年都需對(duì)人壽保險(xiǎn)單進(jìn)行審查，現(xiàn)公司抽取36個(gè)壽保人作為一個(gè)簡(jiǎn)單隨即樣本，得到關(guān)于、投保人年齡、保費(fèi)數(shù)

15、量、保險(xiǎn)單的現(xiàn)金值、殘廢補(bǔ)償選擇等項(xiàng)目的資料。為了便于研究，某位經(jīng)理要求了解壽險(xiǎn)投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計(jì)。,,,STAT,上表是一個(gè)由36個(gè)投保人組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的年齡數(shù)據(jù)。現(xiàn)求總體的平均年齡的區(qū)間估計(jì)。分析：區(qū)間估計(jì)包括兩個(gè)部分——點(diǎn)估計(jì)和誤差邊際，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計(jì)。解：已知（1）樣本的平均年齡（2）誤差邊際,,,STAT,樣本標(biāo)準(zhǔn)差誤差邊際（3）90%的置信區(qū)間為39.5

16、77;2.13 即（37.37，41.63）歲。 注意（1）置信系數(shù)一般在抽樣之前確定，根據(jù)樣本所建立的區(qū)間能包含總體參數(shù)的概率為（2）置信區(qū)間的長(zhǎng)度（準(zhǔn)確度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動(dòng)，若要提高估計(jì)準(zhǔn)確度，可以擴(kuò)大樣本容量來(lái)達(dá)到。,,,STAT,4.3確定樣本容量誤差邊際其計(jì)算需要已知若我們選擇了置信度由此，得到計(jì)算必要樣本容量的計(jì)算公式：,,,STAT,【例4】在以前的一

17、項(xiàng)研究美國(guó)租賃汽車花費(fèi)的研究中發(fā)現(xiàn)，租賃一輛中等大小的汽車，其花費(fèi)范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的標(biāo)準(zhǔn)差為9.65美元。假定進(jìn)行該項(xiàng)研究的組織想進(jìn)行一項(xiàng)新的研究，以估計(jì)美國(guó)當(dāng)前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設(shè)計(jì)該項(xiàng)新的研究時(shí)，項(xiàng)目主管指定對(duì)總體平均日租賃支出的估計(jì)誤差邊際為2美元，置信水平為95%。解：依題意，可得將以上結(jié)果取下一個(gè)整數(shù)（90）即為

18、必要的樣本容量。,,,STAT,4.4總體比例的區(qū)間估計(jì)8.4.1區(qū)間估計(jì) 對(duì)總體比例 的區(qū)間估計(jì)在原理上與總體均值的區(qū)間估計(jì)相同。同樣要利用樣本比例 的抽樣分布來(lái)進(jìn)行估計(jì)。若， 則樣本比例近似服從正態(tài)分布。同樣，抽樣誤差類似的，利用抽樣分布（正態(tài)分布）來(lái)計(jì)算抽樣誤差,,,STAT,上式中，

19、 是正待估計(jì)的總體參數(shù)，其值一般是未知，通常簡(jiǎn)單的用 替代 。即用樣本方差 替代總體方差 。則， 誤差邊際的計(jì)算公式為：,,,STAT,【例5】1997年菲瑞卡洛通訊公司對(duì)全國(guó)范圍每?jī)?nèi)的902名女子高爾夫球手進(jìn)行了調(diào)查，以了解美國(guó)女子高爾夫球手對(duì)自己如何在場(chǎng)上被對(duì)待的看法。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，397名女子高爾夫球手對(duì)得到的球座開(kāi)球次數(shù)感到滿意。

20、試在95%的置信水平下估計(jì)總體比例的區(qū)間。分解：解：依題意已知，（1）樣本比例（2）誤差邊際,,,STAT,（3）95%的置信區(qū)間0.44 ±0.0324 即（0.4076，0.4724）。 結(jié)論：在置信水平為95%時(shí)，所有女子高爾夫球手中有40.76%到47.24%的人對(duì)得到的球座開(kāi)球數(shù)感到滿意。 4.4.2 確定樣本容量 在建立總體比例的區(qū)間估計(jì)時(shí)，確定樣本容量的原理

21、與8.3節(jié)中使用的為估計(jì)總體均值時(shí)確定樣本容量的原理相類似。,,,STAT,【例6】在例中，該公司想在1997年結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行一項(xiàng)新的調(diào)查，以重新估計(jì)女子高爾夫球手的總體中對(duì)得到的球座開(kāi)球此數(shù)感到滿意的人數(shù)所占的比例。調(diào)查主管希望這項(xiàng)新的調(diào)查在誤差邊際為0.025、置信水平為95%的條件下來(lái)進(jìn)行，那么，樣本容量應(yīng)該為多大？解：依題意，可得將以上結(jié)果取下一個(gè)整數(shù)（1515）即為必要的樣本容量。,,,STAT,說(shuō)明：

22、 由于總體比例 在大多數(shù)情況下是未知的，可以有以下方法取得 的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本比例；（2）抽取一個(gè)預(yù)備樣本進(jìn)行試驗(yàn)性研究。用實(shí)驗(yàn)性樣本的比例作為 的估計(jì)值。（3）運(yùn)用對(duì) 值的判斷或者“最好的猜測(cè)”；（4）如果上面的方法都不適用，采用 。,例1：某燈泡廠日產(chǎn)白熾燈泡15000只，根據(jù)歷史資料可知一等品率為90%，現(xiàn)要求極限誤差為2%

23、，概率保證程度為95.45% ，問(wèn)不重復(fù)抽樣時(shí)，應(yīng)抽取多少只燈泡？ 例2：某洗衣機(jī)廠生產(chǎn)一批新型號(hào)的洗衣機(jī)投放市場(chǎng),為了解這種洗衣機(jī)在市場(chǎng)上的銷路，該廠在市場(chǎng)上調(diào)查喜歡這種洗衣機(jī)的人數(shù)比率。要求置信度為95%，估計(jì)誤差在4%以內(nèi)，問(wèn)需要抽多大的樣本？ 例3：某廠生產(chǎn)電子元件10000只，采用重復(fù)抽樣方式抽取100只作耐用檢驗(yàn)，計(jì)算結(jié)果平均壽命是9000小時(shí)，總體的方差是8100小時(shí)，當(dāng)概率保證程度為95.45%時(shí)

24、，電子元件的平均壽命落在哪個(gè)區(qū)間？若概率保證程度提高到99.73%，允許的極限誤差為原來(lái)的1/2時(shí)，需要抽取多少只電子元件？,例1：某燈泡廠日產(chǎn)白熾燈泡15000只，根據(jù)歷史資料可知一等品率為90%，現(xiàn)要求極限誤差為2%，概率保證程度為95.45% ，問(wèn)不重復(fù)抽樣時(shí)，應(yīng)抽取多少只燈泡？,例2：某洗衣機(jī)廠生產(chǎn)一批新型號(hào)的洗衣機(jī)投放市場(chǎng),為了解這種洗衣機(jī)在市場(chǎng)上的銷路，該廠在市場(chǎng)上調(diào)查喜歡這種洗衣機(jī)的人數(shù)比率。要求置信度為95%，估計(jì)誤差在

25、4%以內(nèi)，問(wèn)需要抽多大的樣本？解：根據(jù)題意這種洗衣機(jī)是新產(chǎn)品,故不能用過(guò)去的資料來(lái)估計(jì)喜歡這種洗衣機(jī)的人數(shù)比率。在這種情況下，可用保守的假定成數(shù)p=0.5來(lái)估計(jì)。因?yàn)閜(1-p)的乘積在p=0.5時(shí)為最大，這時(shí)計(jì)算出來(lái)的必要抽樣單位雖然可能比實(shí)際的要多一些，但能充分保證有足夠高的置信度。,例3：某廠生產(chǎn)電子元件10000只，采用重復(fù)抽樣方式抽取100只作耐用檢驗(yàn)，計(jì)算結(jié)果平均壽命是9000小時(shí)，總體的方差是8100小時(shí)，當(dāng)概率保證程