[學習]統(tǒng)計學6、區(qū)間估計

1、教學重點,教學過程,教學總結,第4章 區(qū)間估計,STAT,,,STAT,一家食品生產企業(yè)以生產袋裝食品為主，每天的產量約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應不低于100克，否則即為不合格。為對產量質量進行檢測，企業(yè)設有質量檢查科專門負責質量檢驗，并經常向企業(yè)高層領導提交質檢報告。質檢的內容之一就是每袋重量是否符合要求。 由于產品的數量大，進行全面的檢驗是不可能的，可行的辦法是抽樣，然后用樣本數據估計平均每袋的重量。質檢

2、科從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，下表1是對每袋食品重量的檢驗結果。,實踐中的統(tǒng)計,,,STAT,根據表1的數據，質檢科估計出該天生產的食品每袋的平均重量在101.38~109.34克之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過4克。產品的合格率在96.07%~73.93%之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過16%。,,,STAT,質檢報告提交后，企業(yè)高層領導人提出幾點意見：一是抽取的樣本大小是否合適？能不能

3、用一個更大的樣本進行估計？二是能否將估計的誤差在縮小一點？比如，估計平均重量時估計誤差不超過3克，估計合格率時誤差不超過10%。三是總體平均重量的方差是多少？因為方差的大小說明了生產過程的穩(wěn)定性，過大或過小的方差都意味著應對生產過程進行調整。,,,在對總體特征做出估計時，并非所有估計量都是優(yōu)良的，從而產生了評價估計量是否優(yōu)良的標準。作為優(yōu)良的估計量應該符合如下三個標準：1無偏性 2一致性 3有效性,,,STAT,點估計的缺點：不能反映

4、估計的誤差和精確程度區(qū)間估計：利用樣本統(tǒng)計量和抽樣分布估計總體參數的可能區(qū)間【例1】CJW公司是一家專營體育設備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務質量， CJW公司每月都要隨即的抽取一個顧客樣本進行調查以了解顧客的滿意分數。根據以往的調查，滿意分數的標準差穩(wěn)定在20分左右。最近一次對100名顧客的抽樣顯示，滿意分數的樣本均值為82分，試建立總體滿意分數的區(qū)間。8.1.1抽樣誤差抽樣誤差：一個無偏估計與其對應的總體參數之差的絕對值。

5、抽樣誤差 = （實際未知）,4.1總體均值的區(qū)間估計（大樣本n>30）,,,STAT,4.1.2抽樣誤差的概率表述 由概率論可知， 服從標準正態(tài)分布，即，有以下關系式成立：一般稱， 為置信度，可靠程度等，反映估

6、計結果的可信程度。若事先給定一個置信度，則可根據標準正態(tài)分布找到其對應的臨界值 。進而計算抽樣誤差,,,STAT,若，則查標準正態(tài)分布表可得，抽樣誤差 此時抽樣誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的±3.92的區(qū)間包含總體均值的概率是95%，或者說，樣本均值產生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。 常用的置信度還有90%，95.45%，99.73%，他們對應的臨界值

7、分別為1.645，2和3，可以分別反映各自的估計區(qū)間所對應的精確程度和把握程度。,,,STAT,4.1.3計算區(qū)間估計： 在CJW公司的例子中，樣本均值產生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。因此，可以構建總體均值的區(qū)間為，由于，從一個總體中抽取到的樣本具有隨機性，在一次偶然的抽樣中，根據樣本均值計算所的區(qū)間并不總是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯系的。如下圖所示：,,,STAT,,,,,,,,,,,,,,

8、,,3.92,3.92,,,,圖1 根據選擇的在 、 、 位置的樣本均值建立的區(qū)間,,,STAT,上圖中，有95%的樣本均值落在陰影部分，這個區(qū)域的樣本均值±3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 因此，總體均值的區(qū)間的含義為，我們有95%的把握認為，以樣本均值為中心的±3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 通常，稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對應的置信水平為 置信

9、區(qū)間的估計包含兩個部分：點估計和描述估計精確度的正負值。也將正負值稱為誤差邊際或極限誤差，反映樣本估計量與總體參數之間的最大誤差范圍?？偨Y：,統(tǒng)計學,解：已知總體服從正態(tài)分布，所以樣本平均值也服從正態(tài)分布。并知， =65， =15，查標準正態(tài)分布表，與置信水平95%相對應的Z值為1.96，所以總體平均數置信區(qū)間為：所以我們有95%的把握說總體平均數u介于63.14—66.86千克之間。,第四章,例(1).某廠質量管理部門

10、負責人希望估計移交給接收部門的5500 包 原材料的平均重量。一個由250包原材料組成的隨機樣本所給出的平均值 ,總體 標準差 =15千克,試構造總體未知的平均數 的置信區(qū)間,假定95%的置信區(qū)間已能令人滿意,并假定總體為正態(tài)分布。,第四章 參數估計,例2：對某打土方 的工人作抽樣調查，隨機抽查144個工人，據此求得每人每天平均完成工作量為5.25立方米。已知總體服從正態(tài)分布，其標準

11、差為1.5立方米，試用0.9545概率保證，推斷其全部工人每人每天平均完成工作量介于多少立方米之間？,統(tǒng)計學,解：已知X—N( ,1.5)即總體服從正態(tài)分布。 X=5.25 n=144 =2 所以我們可以0.9545的概率保證全體工人每人每天平均完成工作量介于5—5.5立方米之間。,,第四章 參數估計,如圖：

12、 =0.9545 5 5.5 x注意：n>30為大樣本，查標準正態(tài)分布表 置信水平 (t) 0.6

13、827 1 0.9000 1.645 0.9500 1.96 0.9545 2 0.9973

14、 3 再例：,統(tǒng)計學,,,,,,,,,,,,記住,,,STAT,4.1.4計算區(qū)間估計： 在大多數的情況下，總體的標準差都是未知的。根據抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標準差s作為總體標準差的點估計值，仍然采用上述區(qū)間估計的方法進行總體參數的估計。,,,STAT,【例2】 斯泰特懷特保險公司每年都需對人壽保險單進行審查，現公司抽取36個壽保人作為一個簡單隨即樣本，得到關于、投保人年齡、保費數

15、量、保險單的現金值、殘廢補償選擇等項目的資料。為了便于研究，某位經理要求了解壽險投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計。,,,STAT,上表是一個由36個投保人組成的簡單隨機樣本的年齡數據。現求總體的平均年齡的區(qū)間估計。分析：區(qū)間估計包括兩個部分——點估計和誤差邊際，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計。解：已知（1）樣本的平均年齡（2）誤差邊際,,,STAT,樣本標準差誤差邊際（3）90%的置信區(qū)間為39.5

16、77;2.13 即（37.37，41.63）歲。 注意（1）置信系數一般在抽樣之前確定，根據樣本所建立的區(qū)間能包含總體參數的概率為（2）置信區(qū)間的長度（準確度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動，若要提高估計準確度，可以擴大樣本容量來達到。,,,STAT,4.3確定樣本容量誤差邊際其計算需要已知若我們選擇了置信度由此，得到計算必要樣本容量的計算公式：,,,STAT,【例4】在以前的一

17、項研究美國租賃汽車花費的研究中發(fā)現，租賃一輛中等大小的汽車，其花費范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的標準差為9.65美元。假定進行該項研究的組織想進行一項新的研究，以估計美國當前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設計該項新的研究時，項目主管指定對總體平均日租賃支出的估計誤差邊際為2美元，置信水平為95%。解：依題意，可得將以上結果取下一個整數（90）即為

18、必要的樣本容量。,,,STAT,4.4總體比例的區(qū)間估計8.4.1區(qū)間估計 對總體比例 的區(qū)間估計在原理上與總體均值的區(qū)間估計相同。同樣要利用樣本比例 的抽樣分布來進行估計。若， 則樣本比例近似服從正態(tài)分布。同樣，抽樣誤差類似的，利用抽樣分布（正態(tài)分布）來計算抽樣誤差,,,STAT,上式中，

19、 是正待估計的總體參數，其值一般是未知，通常簡單的用 替代 。即用樣本方差 替代總體方差 。則， 誤差邊際的計算公式為：,,,STAT,【例5】1997年菲瑞卡洛通訊公司對全國范圍每內的902名女子高爾夫球手進行了調查，以了解美國女子高爾夫球手對自己如何在場上被對待的看法。調查發(fā)現，397名女子高爾夫球手對得到的球座開球次數感到滿意。

20、試在95%的置信水平下估計總體比例的區(qū)間。分解：解：依題意已知，（1）樣本比例（2）誤差邊際,,,STAT,（3）95%的置信區(qū)間0.44 ±0.0324 即（0.4076，0.4724）。 結論：在置信水平為95%時，所有女子高爾夫球手中有40.76%到47.24%的人對得到的球座開球數感到滿意。 4.4.2 確定樣本容量 在建立總體比例的區(qū)間估計時，確定樣本容量的原理

21、與8.3節(jié)中使用的為估計總體均值時確定樣本容量的原理相類似。,,,STAT,【例6】在例中，該公司想在1997年結果的基礎上進行一項新的調查，以重新估計女子高爾夫球手的總體中對得到的球座開球此數感到滿意的人數所占的比例。調查主管希望這項新的調查在誤差邊際為0.025、置信水平為95%的條件下來進行，那么，樣本容量應該為多大？解：依題意，可得將以上結果取下一個整數（1515）即為必要的樣本容量。,,,STAT,說明：

22、 由于總體比例 在大多數情況下是未知的，可以有以下方法取得 的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本比例；（2）抽取一個預備樣本進行試驗性研究。用實驗性樣本的比例作為 的估計值。（3）運用對 值的判斷或者“最好的猜測”；（4）如果上面的方法都不適用，采用 。,例1：某燈泡廠日產白熾燈泡15000只，根據歷史資料可知一等品率為90%，現要求極限誤差為2%

23、，概率保證程度為95.45% ，問不重復抽樣時，應抽取多少只燈泡？ 例2：某洗衣機廠生產一批新型號的洗衣機投放市場,為了解這種洗衣機在市場上的銷路，該廠在市場上調查喜歡這種洗衣機的人數比率。要求置信度為95%，估計誤差在4%以內，問需要抽多大的樣本？ 例3：某廠生產電子元件10000只，采用重復抽樣方式抽取100只作耐用檢驗，計算結果平均壽命是9000小時，總體的方差是8100小時，當概率保證程度為95.45%時

24、，電子元件的平均壽命落在哪個區(qū)間？若概率保證程度提高到99.73%，允許的極限誤差為原來的1/2時，需要抽取多少只電子元件？,例1：某燈泡廠日產白熾燈泡15000只，根據歷史資料可知一等品率為90%，現要求極限誤差為2%，概率保證程度為95.45% ，問不重復抽樣時，應抽取多少只燈泡？,例2：某洗衣機廠生產一批新型號的洗衣機投放市場,為了解這種洗衣機在市場上的銷路，該廠在市場上調查喜歡這種洗衣機的人數比率。要求置信度為95%，估計誤差在

25、4%以內，問需要抽多大的樣本？解：根據題意這種洗衣機是新產品,故不能用過去的資料來估計喜歡這種洗衣機的人數比率。在這種情況下，可用保守的假定成數p=0.5來估計。因為p(1-p)的乘積在p=0.5時為最大，這時計算出來的必要抽樣單位雖然可能比實際的要多一些，但能充分保證有足夠高的置信度。,例3：某廠生產電子元件10000只，采用重復抽樣方式抽取100只作耐用檢驗，計算結果平均壽命是9000小時，總體的方差是8100小時，當概率保證程