[教育]有限單元法的幾個(gè)專(zhuān)題

1、6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法 6.2 非線性問(wèn)題的有限元法,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,動(dòng)力學(xué)問(wèn)題在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展中有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類(lèi)：,一類(lèi)是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)：,另一類(lèi)是承受動(dòng)力載荷作用的工程結(jié)構(gòu)：,這些結(jié)構(gòu)的破裂、傾覆和垮塌將給人民的生命財(cái)產(chǎn)造成巨大的損失。,如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性及結(jié)構(gòu)的安全性，正確分析和設(shè)計(jì)這類(lèi)結(jié)構(gòu)，在理論和實(shí)際上也都是具有意義的課題。,高

2、速電機(jī)、汽輪機(jī)、離心壓縮機(jī)，內(nèi)燃機(jī)、沖壓機(jī)床，高速車(chē)輛、飛行器等，它們承受著本身慣性及與周?chē)橘|(zhì)或結(jié)構(gòu)相互作用的動(dòng)力載荷。,承受強(qiáng)風(fēng)、水流、地震以及波浪等各種動(dòng)力載荷的作用的高層建筑、橋梁、核電站的安全殼海洋石油平臺(tái)等。,動(dòng)力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是波在介質(zhì)中的傳播問(wèn)題。,6.1.1 彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本方程：,平衡方程(or運(yùn)動(dòng)方程)：,幾何方程：,物理方程：,邊界條件：,初始條件：,力邊界：,位移邊界：,式中ρ是質(zhì)量密度，μ是阻尼系

3、數(shù)。,平衡方程中出現(xiàn)慣性力和阻尼力這是彈性動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)相區(qū)別的基本特點(diǎn)之一。,位移、應(yīng)變、應(yīng)力也是時(shí)間的函數(shù)。也正因?yàn)槿绱?，?dòng)力學(xué)問(wèn)題的定解條件中還應(yīng)包括初始條件。,,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,6.1.2 有限元法求解動(dòng)力問(wèn)題的基本步驟：,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,在動(dòng)力分析中引入了時(shí)間坐標(biāo)。在有限元分析中一般采用部分離散的方法，即只對(duì)空間域進(jìn)行離散，這樣一來(lái)，此步驟和靜力分析相同。,2、構(gòu)造插值函數(shù),1、連續(xù)區(qū)域的離散

4、化,此時(shí)，結(jié)點(diǎn)位移是時(shí)間的函數(shù)。,6.1.2 有限元法求解動(dòng)力問(wèn)題的基本步驟：,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,3、形成系統(tǒng)的求解方程,平衡方程及力的邊界條件的等效積分形式為：,分部積分，并代入物理方程，,再將離散后的位移代入上式，注意到結(jié)點(diǎn)位移變分的任意性,(請(qǐng)同學(xué)們課后自己證明),最終得到系統(tǒng)的求解方程：,如果忽略阻尼的影響，可簡(jiǎn)化為:,系統(tǒng)的求解方程為：,[M]是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、[C ]是系統(tǒng)的阻尼矩陣、[K]是系統(tǒng)的剛度矩

5、陣、{Q(t)}是系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)載荷向量，分別由各自的單元矩陣和向量集成。,6.1.2 有限元法求解動(dòng)力問(wèn)題的基本步驟：,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,4、求解運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)動(dòng)方程的求解方法是本章著重討論的內(nèi)容。,5、計(jì)算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力,6.1.2 有限元法求解動(dòng)力問(wèn)題的基本步驟：,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,,從以上各步驟可以看出：,B、最后得到的求解方程不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組。其他計(jì)算步驟和靜力分析是完全相同的。

6、,A、和靜力分析相比較，在動(dòng)力分析中由于慣性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣。,6.1.3 單元質(zhì)量矩陣,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,一致(協(xié)調(diào))質(zhì)量矩陣：,質(zhì)量矩陣的導(dǎo)出和導(dǎo)出剛度矩陣所根據(jù)的原理及所采用位移插值函數(shù)是一致的，同時(shí)質(zhì)量分布也是按照實(shí)際分布情況考慮的。,在有限元法中還經(jīng)常采用所謂集中〔或團(tuán)聚)質(zhì)量矩陣。它假定單元的質(zhì)量集中在結(jié)點(diǎn)上，這樣得到的質(zhì)量矩陣是對(duì)角線矩陣。,集中質(zhì)量矩陣：,以3結(jié)點(diǎn)三

7、角形單元為例：,,其中W =ρtA是單元的質(zhì)量, t是單元的厚度。,6.1.4 單元阻尼矩陣,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,1、基于和協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣的同樣理由稱為協(xié)調(diào)阻尼矩陣。它是假定阻尼力正比于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的結(jié)果，通常均將介質(zhì)阻尼簡(jiǎn)化為這種情況。這時(shí)單元阻尼矩陣比例于單元質(zhì)量矩陣。,2、除此而外，還有比例于應(yīng)變速度的阻尼，例如由于材料內(nèi)摩擦引起的結(jié)構(gòu)阻尼通常可簡(jiǎn)化為這種情況，這時(shí)單元阻尼矩陣可表示成：,此單元阻尼矩陣比例于單元?jiǎng)偠染?/p>

8、陣。,6.1.5 直接積分法：,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,常微分方程組的解法，原則上可利用求解常微分方程組的常用方法(例如Runge-K utter方法)求解。,但是在有限元?jiǎng)恿Ψ治鲋?，因?yàn)榫仃囯A數(shù)很高，用這些常用算法一般是不經(jīng)濟(jì)的，所以只對(duì)少數(shù)有效的方法有興趣。這些方法可以分為兩類(lèi):直接積分法和振型疊加法。,,直接積分是指在積分運(yùn)動(dòng)方程之前不進(jìn)行方程形式的變換，而直接進(jìn)行逐步數(shù)值積分。,通常的直接積分法是基于兩個(gè)概念：一、

9、將在求解域0<t<T內(nèi)的任何時(shí)刻t 都應(yīng)滿足運(yùn)動(dòng)方程的要求，代之以僅在一定條件下近似地滿足運(yùn)動(dòng)方程，例如可以僅在相隔Ot的離散的時(shí)間點(diǎn)滿足運(yùn)動(dòng)方程。二、在一定數(shù)目的Δt區(qū)域內(nèi)，假設(shè)位移、速度、加速度的函數(shù)形式。,在以下的討論中，假定時(shí)間t =0的位移、速度、加速度已知。并假定時(shí)間求解域0-T被等分為n個(gè)時(shí)間間隔Δt=T/n，在討論具體算法時(shí)，假定0, Δt, 2Δt, … t時(shí)刻的解已經(jīng)求得，目的在于計(jì)算t+Δt時(shí)刻的解

10、。,,6.1.5 直接積分法：,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,A、中心差分法：,加速度和速度可以用位移表示為：,于是，時(shí)間t+Δt的位移解答可由時(shí)間t的運(yùn)動(dòng)方程建立，即：,時(shí)間t的運(yùn)動(dòng)方程成立，即：,6.1.5 直接積分法：,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,B、NEWMARK法：,C、WILSON-θ法：,(略,祥見(jiàn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)),其中Φ是n階向量，ω是向量Φ振動(dòng)的頻率，t是時(shí)間變量，t0是由初始條件確定的時(shí)間常數(shù)。,6.1.6

11、振型疊加法：,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,1、求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型,不考慮阻尼影響的系統(tǒng)自由振動(dòng)方程是,它的解可以假設(shè)為以下形式,將假設(shè)解代入上式，就得到一個(gè)廣義特征值問(wèn)題:,(略,祥見(jiàn)振動(dòng)力學(xué)和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)),6.1.6 振型疊加法：,6.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的有限元法,求解以上方程可以確定Φ和ω ，結(jié)果得到n個(gè)特征解(ω1 , Φ1), (ω2,Φ2), (ω3,Φ3), (ω4,Φ4), 其中特征值{ω}代表系統(tǒng)的n個(gè)固

12、有頻率，特征向量{Φ}代表系統(tǒng)的n個(gè)固有振型。,由于固有振型對(duì)于矩陣M是正交的,6.2 非線性問(wèn)題的有限元法,以前討論的均是線性問(wèn)題。線彈性力學(xué)基本方程的特點(diǎn)是：,1. 幾何方程(應(yīng)變和位移的關(guān)系)是線性的。,但是在很多重要的實(shí)際問(wèn)題中。 上述線性關(guān)系不能保持。,2. 物理方程(應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系)是線性的。,3. 平衡方程也是線性的。,6.2.0 非線性問(wèn)題,6.2 非線性問(wèn)題的有限元法,例如：當(dāng)外載荷到達(dá)一定數(shù)值時(shí)某些

13、部位首先進(jìn)入塑性，產(chǎn)生了不可恢復(fù)的變形，這時(shí)在該部位線彈性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再適用，雖然結(jié)構(gòu)的其他大部分區(qū)域仍保持彈性。,又如：長(zhǎng)期處于高溫條件下工作的結(jié)構(gòu)將發(fā)生蠕變變形，即在載荷或應(yīng)力保持不變的情況下，變形或應(yīng)變?nèi)噪S著時(shí)間的進(jìn)展而繼續(xù)增長(zhǎng)。,工程實(shí)際中還存在另一類(lèi)所謂幾何非線性問(wèn)題：,上述現(xiàn)象，都不是線彈性的物理方程所能描述的，,屬于材料非線性范疇內(nèi)所要研究的問(wèn)題。,例如板殼的大撓度問(wèn)題，材料鍛壓成型過(guò)程的大應(yīng)變問(wèn)題等，這時(shí)需要采用非線

14、性的應(yīng)變和位移關(guān)系，平衡方程也必須建立于變形后的狀態(tài)以考慮變形對(duì)平衡的影響。,6.2.0 非線性問(wèn)題,6.2 非線性問(wèn)題的有限元法,6.2.1 非線性問(wèn)題有限單元法的求解方程：,無(wú)論物理非線性還是幾何非線性，最后都?xì)w結(jié)為求解非線性方程組 ：,1、如果材料是非線性的，則彈性矩陣D是非線性的，可寫(xiě)成D=D(a)，那么K= K(a)同樣是非線性的，這種非線性稱為物理非線性。,2、如果材料是線性的，但是應(yīng)變位移矩陣B與節(jié)點(diǎn)位移a有關(guān)，即B

15、=B(a)，是非線性的，那么K= K(a)同樣是非線性的，這種非線性稱為幾何非線性。,6.2 非線性問(wèn)題的有限元法,6.2.1 非線性問(wèn)題有限單元法的求解方程：,對(duì)于線性方程組,6.2 非線性問(wèn)題的有限元法,6.2.2 非線性方程組解答的一些常用方法：,但對(duì)于非線性方程組,以下將闡述借助于重復(fù)求解線性方程組以得到非線性方程組解答的一些常用方法。,由于K是常數(shù)矩陣，可以沒(méi)有困難地直接求解，,由于K依賴于基本未知量a。本身則不可能直

16、接求解。,一、直接迭代法,6.2 非線性問(wèn)題的有限元法,6.2.2 非線性方程組解答的一些常用方法：,2、初始剛度法,1、割線剛度法,二、Newton-Raphson方法,6.2 非線性問(wèn)題的有限元法,6.2.2 非線性方程組解答的一些常用方法：,1、Newton-Raphson方法,2、修正的Newton-Raphson方法,三、增量載荷法,6.2 非線性問(wèn)題的有限元法,6.2.2 非線性方程組解答的一些常用方法：,增量載