隨機(jī)最優(yōu)控制相關(guān)的HJB方程及弱解研究.pdf

1、在上世界五十年代，Bellman[10]引入了解決一系列相關(guān)問(wèn)題的數(shù)學(xué)技術(shù)-動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理。它被廣泛應(yīng)用于很多優(yōu)化問(wèn)題中(包括最優(yōu)控制問(wèn)題)。Yong和Zhou[92]研究了隨機(jī)控制問(wèn)題，并且給出了它的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和它相對(duì)應(yīng)的HJB方程的粘性解。
　　 1990年，Pardoux和Peng[69]首先證明了系數(shù)滿足Lipschitz條件的非線性倒向隨機(jī)微分方程的解的存在唯一性。1992年，著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家Duffle和Epstein也

2、獨(dú)立的引入了一類(lèi)特殊類(lèi)型的倒向隨機(jī)微分方程用以刻畫(huà)金融中的遞歸效用函數(shù)。隨后，學(xué)者們也進(jìn)一步的研究了不同條件下的這類(lèi)方程的可解性及相關(guān)性質(zhì)，并廣泛應(yīng)用于數(shù)理金融，隨機(jī)控制和經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域，使倒向隨機(jī)微分方程理論得到了進(jìn)一步的完善和發(fā)展。1992年，Peng[74]研究了消費(fèi)函數(shù)是由一個(gè)倒向隨機(jī)微分方程來(lái)刻畫(huà)的隨機(jī)遞歸的最優(yōu)控制問(wèn)題，并且給出了這類(lèi)問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和它相對(duì)應(yīng)的HJB方程的粘性解。
　　 1997年，El Karou

3、i，Kapoudjian，Pardoux，Peng和Quenez[46]首先提出了反射倒向隨機(jī)微分方程的定義。在原來(lái)方程的基礎(chǔ)上增加一個(gè)增過(guò)程Kt，產(chǎn)生一個(gè)向上的“推力”使得方程的解恰好能保持在一給定的過(guò)程(稱為邊界或障礙)的上方，且“推力”最小。此時(shí)方程表示為(公式略)Wu和Yu[87]研究了這類(lèi)消費(fèi)函數(shù)帶障礙的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題，其中它的消費(fèi)函數(shù)是由一個(gè)帶下反射邊界的倒向隨機(jī)微分方程刻畫(huà)的。他們給出了這類(lèi)最優(yōu)控制問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和相

4、應(yīng)的HJB方程的粘性解。
　　 然而，在經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理中還存在著一個(gè)比較大的困難。若這個(gè)HJB方程存在著經(jīng)典解，那就意味著這個(gè)解必須是足夠光滑的(達(dá)到方程中的可微性條件)。不幸的是，在許多情況下是達(dá)不到這個(gè)條件的。在隨機(jī)的情況下，擴(kuò)散項(xiàng)是不能夠退化的，所以說(shuō)在一般情況下，HJB方程沒(méi)有經(jīng)典解。為了克服這個(gè)困難，在以前的文章中，作者都是給出了HJB方程的粘性解。在本文中，我們第一次嘗試給出HJB方程的Sobolev弱解。

5、>　　 另外一個(gè)問(wèn)題是，在以前的文章中，嚴(yán)格控制中的最優(yōu)解不一定存在，它必須要有一個(gè)Filipov凸性條件。沒(méi)有這個(gè)條件，U中的最優(yōu)控制就不一定存在。為了克服沒(méi)有這個(gè)條件最優(yōu)控制就不一定存在的困難，在本文中，我們討論松弛控制。以下是本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)論。
　　 第一章：簡(jiǎn)要介紹本文中所討論問(wèn)題的背景及總體思路。
　　 第二章：我們研究了隨機(jī)松弛最優(yōu)控制問(wèn)題中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，并且證明了它的值函數(shù)是對(duì)應(yīng)的HJB方程的Sob

6、olev弱解。我們還考慮了，當(dāng)消費(fèi)函數(shù)是遞歸的情況下，HJB方程對(duì)應(yīng)的Sobolev弱解的情況。定理2.2.4.(動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理)在(A2.3)(A2.4)的假設(shè)條件下，對(duì)于任意的(t，x)∈[0，T)×Rn都有(公式略)成立。定理2.3.1.假設(shè)(A2.3)-(A2.4)成立并且值函數(shù)V∈C1,2([0，T]×Rn)，則V是下面的二階偏微分方程的解(公式略)定理2.3.8.(HJB方程的Sobolev弱解)在(A2.5)-(A2.9)的

7、假設(shè)條件下，由(2.7)式定義的值函數(shù)V(t，x)是偏微分方程(2.36)的唯一的Sobolev弱解.定理2.5.5.在(A2.5)(A2.6)和(A2.11)-(A2.13)的假設(shè)條件下，由(2.90)定義的值函數(shù)V(t，x)是偏微分方程(2.92)的唯一的Sobolev弱解.
　　 第三章：我們研究了隨機(jī)遞歸松弛最優(yōu)控制問(wèn)題，其中它的消費(fèi)函數(shù)是由一個(gè)帶有限制的反射方程刻畫(huà)。我們給出了該最優(yōu)控制問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，并且證明了它

8、的值函數(shù)是對(duì)應(yīng)的HJB方程的唯一Sobolev弱解。定理3.2.8.(動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理)在(A2.3)-(A3.4)的假設(shè)條件下，對(duì)于任意的0＜δ≤T-t，值函數(shù)u(t，x)滿足下面的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理(公式略)定理3.3.6.(HJB方程的Sobolev弱解)在(A2.5)-(A2.6)和(A3.5)-(A3.8)的假設(shè)條件下，定義在(3.8)中的值函數(shù)V(t，x)是偏微分方程(3.15)的唯一的Sobolev弱解.
　　 第四章：我們

9、研究了隨機(jī)遞歸的零和微分對(duì)策和混合微分對(duì)策問(wèn)題，并且得到了鞍點(diǎn)的存在性結(jié)果。我們應(yīng)用的主要工具是倒向隨機(jī)微分方程和帶雙邊反射的倒向隨機(jī)微分方程。作為我們主要的研究動(dòng)機(jī)和應(yīng)用背景，我們還討論了當(dāng)貸款利率高于存款利率時(shí)的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。定理4.1.1.(Y*，Z*)是下面的倒向隨機(jī)微分方程的解(公式略)則Y*0是最優(yōu)賠付J(x0，u*，v*)，控制對(duì)(u*，v*)是這個(gè)遞歸對(duì)策的鞍點(diǎn).定理4.2.1.(Y*，Z*，K*+，K*-)是下面的