2019年高考數(shù)學(xué)一輪（北師大版理科） 專題突破練1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點問題 理 北師大版

1、1專題突破練專題突破練(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點問題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點問題(對應(yīng)學(xué)生用書第231頁)1已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值；(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍[解]由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)(1)因為曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切

2、，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.當(dāng)x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘1↗所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(0)＝1是f(x)的最小值當(dāng)b≤1時，曲線y＝f(x)與直線y＝b最多只有一個交點；當(dāng)b＞1時，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－

3、1＞4b－2b－1＞b，f(0)＝1＜b，所以存在x1∈(－2b0)，x2∈(02b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調(diào)，所以當(dāng)b＞1時，曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個不同交點綜上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，那么b的取值范圍是(1，＋∞)2設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a＞ln

4、2－1且x＞0時，ex＞x2－2ax＋1.[解](1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘2－2ln2＋2a↗故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，3即lnx0＝x0－2，x0∈(34)所以當(dāng)1＜x＜x0時，h(x)＜0，即g′(x)＜0，當(dāng)x＞x

5、0時，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以函數(shù)g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，x0＋x0lnx0x0－1x0(1＋x0－2)x0－1所以k＜g(x)min＝x0，x0∈(34)，又因為k∈Z，故k的最大值為3.4(2017山東高考)已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2，a∈R.1312(1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x

6、)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值[解](1)由題意f′(x)＝x2－ax，所以當(dāng)a＝2時，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此，曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)因為g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，所以g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)sinx－cosx＝x(x

7、－a)－(x－a)sinx＝(x－a)(x－sinx)令h(x)＝x－sinx，則h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增因為h(0)＝0，所以當(dāng)x0時，h(x)0；當(dāng)x0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(a0)時，x－a0，g′(x)0，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x＝a時，g(x)取到極大值，極大值是g(a)＝－a3－sina；16當(dāng)x＝0時，g(x)取到極小值，極小值是g(0)＝－a.②當(dāng)a＝0時，g′(x)＝x