2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、1第二章二章習(xí)題習(xí)題211.試?yán)帽竟?jié)定義5后面的注(3)證明:若xn=a則對(duì)任何自然數(shù)k,有l(wèi)imn??limn??xnk=a.證:由,知,,當(dāng)時(shí),有l(wèi)imnnxa???0???1N?1nN?nxa???取,有,,設(shè)時(shí)(此時(shí))有1NNk??0???N?nN?1nkN??nkxa????由數(shù)列極限的定義得.limnkxxa????2.試?yán)貌坏仁秸f(shuō)明:若xn=a則∣xn∣=|a|.考察數(shù)列xn=(ABAB???limn??limn??1

2、)n,說(shuō)明上述結(jié)論反之不成立.證:證:lim0.使當(dāng)時(shí),有nxnxaNnNxa?????????????而nnxaxa???于是,0???使當(dāng)時(shí),有NnN??即nnxaxa?????nxa???由數(shù)列極限的定義得limnnxa???考察數(shù)列,知不存在,而,,(1)nnx??limnnx??1nx?lim1nnx???所以前面所證結(jié)論反之不成立。3.利用夾逼定理證明:(1)=0;(2)=0.limn??222111(1)(2)nnn???

3、????????limn??2!nn證:證:(1)因?yàn)?22222111112(1)(2)nnnnnnnnnn???????????而且,,21lim0nn???2lim0nn???3而或就是,00xx????00xx????00xx????于是,當(dāng)時(shí),有,00??????00xx????()fxa???所以.0lim()xxfxa??再證必要性:即若,則0lim()xxfxa??00lim()lim()xxxxfxfxa??????由

4、知,,當(dāng)時(shí),有,0lim()xxfxa??00??????00xx????()fxa???由就是或,于是,當(dāng)00xx????00xx????00xx????00??????或時(shí),有.00xx????00xx????()fxa???所以00lim()lim()xxxxfxfxa??????綜上所述,f(x)=a的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在且都等于a.0limxx?2.(1)利用極限的幾何意義確定(x2a)和;0limx?

5、0limx??1ex(2)設(shè)f(x)=,問(wèn)常數(shù)a為何值時(shí),f(x)存在.12e00xxxax????????0limx?解:(1)因?yàn)閤無(wú)限接近于0時(shí),的值無(wú)限接近于a,故.2xa?20lim()xxaa???當(dāng)x從小于0的方向無(wú)限接近于0時(shí),的值無(wú)限接近于0,故.1ex10lime0xx???(2)若存在,則,0lim()xfx?00lim()lim()xxfxfx?????由(1)知,22000lim()lim()lim()xxxf

6、xxaxaa???????????100lim()lime0xxxfx??????所以,當(dāng)時(shí),存在。0a?0lim()xfx?3.利用極限的幾何意義說(shuō)明sinx不存在.limx???解:因?yàn)楫?dāng)時(shí),的值在1與1之間來(lái)回振擺動(dòng),即不無(wú)限接近某x???sinxsinx一定直線,亦即不以直線為漸近線,所以不存在。yA?()yfx?yA?limsinxx???習(xí)題習(xí)題231.舉例說(shuō)明:在某極限過(guò)程中,兩個(gè)無(wú)窮小量之商、兩個(gè)無(wú)窮大量之商、無(wú)窮小量與

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