數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題

1、1數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題羅增儒引言引言數(shù)論的認(rèn)識：數(shù)論的認(rèn)識：數(shù)論是關(guān)于數(shù)的學(xué)問，主要研究整數(shù)，重點對象是正整數(shù)，對中學(xué)生可以說，數(shù)論是研究正整數(shù)的一個數(shù)學(xué)分支什么是正整數(shù)呢？人們借助于“集合”和“后繼”關(guān)系給正整數(shù)（當(dāng)時也即自然數(shù)）作過本質(zhì)的描述，正整數(shù)1，2，3，…是這樣一個集合：N?（1）有一個最小的數(shù)1（2）每一個數(shù)的后面都有且只有一個后繼數(shù)；除1之外，每一個數(shù)的都是且只aa是一個數(shù)的后繼數(shù)這個結(jié)構(gòu)很像數(shù)學(xué)歸納

2、法，事實上，有這樣的歸納公理：（3）對的子集，若，且當(dāng)時，有后繼數(shù)，則N?M1M?aM?aM?MN??就是這么一個簡單的數(shù)集，里面卻有無窮無盡的奧秘，有的奧秘甚至使得人們懷疑：人類的智慧還沒有成熟到解決它的程度比如，哥德巴赫猜想：1742年6月7日，普魯士派往俄國的一位公使哥德巴赫寫信給歐拉，提出“任何偶數(shù)，由4開始，都可以表示為兩個素數(shù)和的形式，任何奇數(shù)，由7開始，都可以表示為三個素數(shù)的和后者是前者的推論，也可獨立證明（已解決）“表示

3、為兩個素數(shù)和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，簡稱11歐拉認(rèn)為這是對的，但證不出來1900年希爾伯特將其歸入23個問題中的第8個問題1966年陳景潤證得：一個素數(shù)素數(shù)素數(shù)（12），至今仍無人超越?●陳景潤的數(shù)學(xué)教師沈元很重視利用名人、名言、名事去激勵學(xué)生，他曾多次在開講時，說過這樣的話:“自然科學(xué)的皇后是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的皇冠是數(shù)論，哥德巴赫猜想則是皇冠上的明珠……”陳景潤就是由此而受到了啟示和激勵，展開了艱苦卓絕的終生奮斗和燦爛輝煌的奮斗終生

4、，離摘取“皇冠上的明珠”僅一步之遙●數(shù)論題涉及的知識不是很多，但用不多的知識來解決問題往往就需要較強(qiáng)的能力和精明多的技巧，有人說：用以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論教材更好的課程了任何學(xué)生如能把當(dāng)今一本數(shù)論教材中的練習(xí)做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵，勸他（她）將來去從事數(shù)學(xué)方面的工作（UDudley《數(shù)論基礎(chǔ)》前言）下面，是一個有趣的故事當(dāng)代最高產(chǎn)的數(shù)學(xué)家厄爾多斯聽說一個叫波薩（匈牙利，1948）的小男孩很聰明，就問了他一個問題加以考察

5、（1959）：如果你手頭上有個正整數(shù)，這些正整數(shù)小于或等1n?于，那么你一定有一對整數(shù)是互素的，你知道這是什么原因嗎？2n不到12歲的波薩只用了1分半鐘，就給出了問題的解答他將1～分成（1，2），2n（3，4），…，（）共個抽屜，手頭的個正整數(shù)一定有兩個屬于同一抽212nn?n1n?屜，這兩個數(shù)是相鄰的正整數(shù)，必定互素通過這個問題，厄爾多斯認(rèn)定波薩是個難得的英才，就精心加以培養(yǎng)，不到兩年，14歲的波薩就發(fā)表了圖論中“波薩定理”●重視數(shù)學(xué)

6、能力的數(shù)學(xué)競賽，已經(jīng)廣泛采用數(shù)論題目，是數(shù)學(xué)競賽四大支柱之一，四3第一講第一講數(shù)論題的基本內(nèi)容數(shù)論題的基本內(nèi)容中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題涉及的數(shù)論內(nèi)容主要有10個定義、18條定理首先約定，本文中的字母均表示整數(shù)定義定義1（帶余除法）給定整數(shù)如果有整數(shù)滿足0abb???0qrrb??，aqbr??則和分別稱為除以的商和余數(shù)特別的，時，則稱被整除，記作，qrab0r?abba或者說是的倍數(shù)，而是的約數(shù)（的存在性由定理1證明）abbaqr定義定

7、義2（最大公約數(shù)）設(shè)整數(shù)中至少有一個不等于零，這個數(shù)的最大12naaa?n公約數(shù)是能整除其中每一個整數(shù)的最大正整數(shù)，記作??12naaa?中的沒有順序，最大公約數(shù)也稱最大公因數(shù)??12naaa?ia簡單性質(zhì)：簡單性質(zhì)：????1212nnaaaaaa???一個功能：可以把對整數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對非負(fù)整數(shù)的研究定義定義3（最小公倍數(shù)）非零整數(shù)的最小公倍數(shù)是能被其中每一個12naaa?所整除的最小正整數(shù)，記作??1iain????12naaa?

8、簡單性質(zhì)：簡單性質(zhì)：如果是正整數(shù)的公倍數(shù)，則存在正整數(shù)使kabm??kmab?證明證明若不然，有（），由都是的公倍數(shù)得??kmabr????0rab????kabab也是的公倍數(shù)，但，與的最小性矛盾故rab??0rab????ab??kmab?定義定義4如果整數(shù)滿足，則稱與是互素的（也稱互質(zhì)）ab??1ab?ab定義定義5大于1且除1及其自身外沒有別的正整數(shù)因子的正整數(shù)，稱為素數(shù)（也稱質(zhì)數(shù)）其余大于1的正整數(shù)稱為合數(shù)；數(shù)1既不是素數(shù)也不