《競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的初等數(shù)論》

1、序言數(shù)論是競(jìng)賽數(shù)學(xué)中最重要的一部分，特別是在1991年，IMO在中國(guó)舉行，國(guó)際上戲稱那一年為數(shù)論年，因?yàn)?道IMO試題中有5道與數(shù)論有關(guān)。數(shù)論的魅力在于它可以適合小孩到老頭，只要有算術(shù)基礎(chǔ)的人均可以研究數(shù)論――在前幾年還盛傳廣東的一位農(nóng)民數(shù)學(xué)愛好者證明了哥德巴赫猜想，當(dāng)然，這一謠言最終被澄清了。可是這也說明了最難的數(shù)論問題，適合于任何人去研究。初等數(shù)論最基礎(chǔ)的理論在于整除，由它可以演化出許多數(shù)論定理。做數(shù)論題，其實(shí)只要整除理論即可，然而

2、要很快地解決數(shù)論問題，則要我們多見識(shí)，以及學(xué)習(xí)大量的解題技巧。這里我們介紹一下數(shù)論中必需的一個(gè)內(nèi)容：對(duì)于，滿足，其NrqNba????rbqa??中。br??0除了在題目上選擇我們努力做到精挑細(xì)選，在內(nèi)容的安排上我們也盡量做到講解詳盡，明白。相信通過對(duì)本書學(xué)習(xí)，您可以對(duì)數(shù)論有一個(gè)大致的了解。希望我們共同學(xué)習(xí)，相互交流，在學(xué)習(xí)交流中，共同提高。編者：賈廣素2006821于山東濟(jì)寧013715316212525050110022004211

3、111010100各次余數(shù)故，210)01111101010()2004(?；246789104212121212121214102????????????????同理，有，。810)3274()2004(?48782834102234?????????處理與數(shù)字有關(guān)的問題，通常利用定義建立不定方程來求解。例2求滿足的所有三位數(shù)。（1988年上海市競(jìng)賽試題）3)(cbaabc???abc解：由于，則，從而；999100??abc999)

4、(1003????cba95????cba當(dāng)時(shí)，；5???cba33)521(1255????當(dāng)時(shí)，；6???cba33)612(2166????當(dāng)時(shí)，；7???cba33)343(3437????當(dāng)時(shí)，；8???cba33)215(5128????當(dāng)時(shí)，；9???cba33)927(7299????于是所求的三位數(shù)只有512。例3一個(gè)四位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字相同。如果將這個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來（即個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字互換，十位

5、數(shù)字與百位數(shù)字互換），所得的新數(shù)減去原數(shù)，所得的差為7812，求原來的四位數(shù)。（1979年云南省競(jìng)賽題）解：設(shè)該數(shù)的千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字分別為，則zyx原數(shù)①yzyx????10101023顛倒后的新數(shù)②xyzy????10101023由②－①得7812＝)(90)(999yzxy???即③)()(10)(10)(10)(1118682xyyzxyyzxy??????????比較③式兩端百位、十位、個(gè)位數(shù)字得68????xzxy