初等數(shù)論課程中核心概念

1、初等數(shù)論中核心概念,三組核心概念,整數(shù)的整除性理論是初等數(shù)論的基礎(chǔ)，其中心內(nèi)容是最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)理論，對最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)這兩個(gè)核心概念的本質(zhì)把握對理解相關(guān)理論至關(guān)重要．,1最大公因數(shù)與最小公倍數(shù),定義1 整數(shù)a1，a2，?，an的公共因數(shù)稱為a1，a2，?，an的公因數(shù)．不全為零的整數(shù)a1，a2，?，an的公因數(shù)中最大的一個(gè)稱為a1，a2，?，an的最大公因數(shù)(或最大公約數(shù))，記為(a1，a2，?，an)．定理1 對于

2、任意的n個(gè)整數(shù)a1，a2，?，an ，作(a1， a2)=d2，(d2，a3)=d3，?，(dn-1，an)=dn，則(a1，a2，?，an) =dn．,定理2，y0 =( a1，a2，?，an)， (a1，a2，?，an)可以表示成a1，a2，?，an的整系數(shù)線性組合．即 y0=a1x1+a2x2＋?+anxn, xi∈Z，1≤i≤n推論1 設(shè)c是a1，a2，?，an的—個(gè)公因數(shù)，則c ｜(a1，a2，?，an)．推論1刻畫了

3、最大公因數(shù)的本質(zhì)特征：最大公因數(shù)不但是公因數(shù)中最大的，而且是所有公因數(shù)的倍數(shù).,定義2 設(shè)a1，a2，?，an為不全為零的整數(shù)，若正整數(shù)d滿足：(1) d ｜ai(i=1，2?，n)；(2)若c｜ai(i=1，2?，n) ，且c|d，則稱d為a1，a2，?，an的最大公因數(shù)，記作d=( a1，a2，?，an)．,最小公倍數(shù),定義3 整數(shù)a1，a2，?，an的公共倍數(shù)稱為a1，a2，?，an的公倍數(shù)． a1，a2，?，an的正公倍數(shù)

4、中的最小的—個(gè)叫做a1，a2，?，an的最小公倍數(shù)，記為[a1，a2，?，an ]．定理3 對任意的正整數(shù)a，b，有[a，b ]= ab/(a，b)．由定理3可獲知一個(gè)重要事實(shí)：兩個(gè)整數(shù)的任意公倍數(shù)都可以被它們的最小公倍數(shù)整除．,,對于任意的n個(gè)整數(shù)a1，a2，?，an ，作[a1， a2]=m2，[m2，a3]=m3，?，[mn-1，an]=mn ，則[a1，a2，?，an ]= mn ．從而有推論2．推論2若m是整數(shù)a1，

5、a2，?，an的公倍數(shù)，則[a1，a2，?，an ]｜m．,定義4 設(shè)a1，a2，?，an為任意的n個(gè)整數(shù)，若正整數(shù)m滿足：(1)ai|m(i=1，2，?，n)；(2)對于任意C∈Z，若ai|c(i=1，2，?，n)，則m|c,則稱m為a1，a2，?，an的最小公倍數(shù)，記作m=[a1，a2，?，an ]．,2．質(zhì)數(shù)與合數(shù),定義5 —個(gè)大于1的正整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，就叫作質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù))，否則就叫做合數(shù)．由定義5可

6、知，a是合數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=d1d2，其中：1<d1，d2<a．這是合數(shù)的一個(gè)本質(zhì)特征，據(jù)此可得到判斷一個(gè)大整數(shù)是否質(zhì)數(shù)的判別準(zhǔn)則．,3.同余問題,定義6 設(shè)m是正整數(shù)，若用m去除整數(shù)a，b所得的余數(shù)相同，則稱a與b關(guān)于模m同余，記作a ≡b(modm)，否則，稱a與b關(guān)于模m不同余，記作a≠b(modm) ．,定理5 相當(dāng)于給出了同余概念的四個(gè)等價(jià)定義，其中(2)、(3)用兩種不同的等式形式呈現(xiàn)了模m同余關(guān)系，(4)是用整

7、除關(guān)系刻畫整數(shù)間模m同余關(guān)系，而(1)是數(shù)論中表達(dá)模m同余關(guān)系的專業(yè)的、規(guī)范的通用符號語言．在解決有關(guān)整數(shù)的余數(shù)問題時(shí)，往往根據(jù)問題解決的需要，選擇恰當(dāng)?shù)谋硎鲂问?，才可能將問題順利解決，因此熟練掌握這四種形式間的相互轉(zhuǎn)換是解決余數(shù)問題的基本保障．,同余理論應(yīng)用——平方數(shù)的有關(guān)結(jié)論,結(jié)論1：任意平方數(shù)除以8的余數(shù)為0，1或4。結(jié)論2：任意平方數(shù)除以4的余數(shù)為0或1。結(jié)論3：任何平方數(shù)的末位數(shù)字不能是2，3，7或8。結(jié)論4：沒有由相