初等數(shù)論-緒論 (1)

1、歡迎你參加,初等數(shù)論的學(xué)習(xí),2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,2,緒 論,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,3,,一 初等數(shù)論及其主要內(nèi)容,數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門很古老的數(shù)學(xué)分支，其初等部分是以整數(shù)的整除性為中心的，包括整除性、不定方程、同余式、連分?jǐn)?shù)、素?cái)?shù)（即質(zhì)數(shù)）分布 以及數(shù)論函數(shù)等內(nèi)容，統(tǒng)稱初等數(shù)論（elementary number theory）。 初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只

2、依靠初等的方法來(lái)研究整數(shù)性質(zhì)的分支。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,4,數(shù)論中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題,(123456+234561+345612+456123+561234+612345)÷6,例2.11112222個(gè)棋子排成一個(gè)大長(zhǎng)方形，每一橫行的棋子數(shù)比每一直行的棋子數(shù)多一個(gè)，這個(gè)長(zhǎng)方陣每一橫行有棋子_________個(gè)。,例3.狐貍在跑道上跳遠(yuǎn)，每次跳遠(yuǎn)150CM從起點(diǎn)開(kāi)始每隔130CM設(shè)一個(gè)陷阱，問(wèn)狐貍跳了

3、幾次后掉進(jìn)井中？,例1. 計(jì)算,例4：71427和19的積被7整除是幾？,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,5,自古以來(lái)，數(shù)學(xué)家對(duì)于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，初等數(shù)論的大部份內(nèi)容早在古希臘歐幾里德的《幾何原本》（公元前3世紀(jì)）中就已出現(xiàn)。歐幾里得證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，他還給出求兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)的方法，即所謂歐幾里得算法。我國(guó)古代在數(shù)論方面亦有杰出之貢獻(xiàn)，現(xiàn)在一般數(shù)論書(shū)中的“中國(guó)剩余定理”，正是我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》中的下

4、卷第26題，我國(guó)稱之為孫子定理。 近代初等數(shù)論的發(fā)展得益於費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等人的工作。1801年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫了一本書(shū)叫做《算術(shù)探究》，開(kāi)始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。高斯還提出：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王”。,二 數(shù)論的發(fā)展史,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,6,由于自20世紀(jì)以來(lái)引進(jìn)了抽象數(shù)學(xué)和高等分析的巧妙工具，數(shù)論得到進(jìn)一步的發(fā)展，從而開(kāi)闊了新的研究領(lǐng)域，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)

5、論、解析數(shù)論、幾何數(shù)論等新分支。而且近年來(lái)初等數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、代數(shù)編碼、計(jì)算方法等領(lǐng)域內(nèi)更得到了 廣泛的應(yīng)用，無(wú)疑同時(shí)也促進(jìn)著數(shù)論的發(fā)展。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,7,三 幾個(gè)著名數(shù)論難題,初等數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)科，歷史上遺留下來(lái)沒(méi)有解決的大多數(shù)數(shù)論難題其問(wèn)題本身容易搞懂，容易引起人的興趣，但是解決它們卻非常困難。,其中，非常著名的問(wèn)題有：哥德巴赫猜想 ；費(fèi)爾馬大定理 ；孿生素

6、數(shù)問(wèn)題 ；完全數(shù)問(wèn)題等。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,8,1742年,由德國(guó)中學(xué)教師哥德巴赫在教學(xué)中首先發(fā)現(xiàn)的。1742年6月7日，哥德巴赫寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉,正式提出了以下的猜想： 一個(gè)大于6的偶數(shù)可以表示為不同的兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。 陳景潤(rùn)在1966年證明了“哥德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”〔所謂的1+2〕，是篩法的光輝頂點(diǎn)，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好結(jié)果。,

7、1、哥德巴赫猜想：,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,9,2、費(fèi)爾馬大定理：,費(fèi)馬是十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱。在三百七十多年前的某一天，費(fèi)馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的數(shù)學(xué)書(shū)時(shí)，突然心血來(lái)潮在書(shū)頁(yè)的空白處，寫下一個(gè)看起來(lái)很簡(jiǎn)單的定理。,經(jīng)過(guò)8年的努力，英國(guó)數(shù)學(xué)家 安德魯·懷爾斯 終于在1995年完成了該定理的證

8、明。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,10,3、孿生素?cái)?shù)問(wèn)題,存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù) p, 使得 p+2 也是素?cái)?shù)。,究竟誰(shuí)最早明確提出這一猜想已無(wú)法考證，但是1849年法國(guó)數(shù)學(xué) Alphonse de Polignac 提出猜想：對(duì) 于任何偶數(shù) 2k, 存在無(wú)窮多組以2k為間隔的素?cái)?shù)。對(duì)于 k=1，這就是孿生素?cái)?shù)猜想，因此人們有時(shí)把 Alphonse de Polignac 作為孿生素?cái)?shù)猜想的提出者。不同的 k

9、對(duì)應(yīng)的素?cái)?shù)對(duì)的命名也很有趣，k=1 我們已經(jīng)知道叫做孿生素?cái)?shù)； k=2 (即間隔為4) 的素?cái)?shù)對(duì)被稱為 cousin prime ；而 k=3 (即間隔為 6) 的素?cái)?shù)對(duì)竟然被稱為 sexy prime (不過(guò)別想歪了，之所以稱為 sexy prime 其實(shí)是因?yàn)?sex 正好是拉丁文中的 6。),2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,11,4、最完美的數(shù)——完全數(shù)問(wèn)題,下一個(gè)具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28, 28=1+2+4+7+1

10、4.接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù). 歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:,注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒(méi)有奇完全數(shù)。,完美數(shù)又稱為完全數(shù),最初是由畢達(dá)哥拉斯的信徒發(fā)現(xiàn)的,他們注意到,數(shù)6有一個(gè)特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3.,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,12,四、我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就,公元前100多年，漢朝人撰，是一部既談天

11、體又談數(shù)學(xué)的天文歷算著作，主要討論蓋天說(shuō)，提出了著名的“勾三股四弦五”這個(gè)勾股定理的一個(gè)特例。,1、周髀算經(jīng),2、孫子算經(jīng) 約成書(shū)于四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年代都不清楚?，F(xiàn)在傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷。卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說(shuō)明籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開(kāi)平方法。卷下第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來(lái)傳到日本，變成“鶴龜算”。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,13,具

12、有重大意義的是卷下第26題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？《孫子算經(jīng)》不但提供了答案，而且還給出了解法。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶則進(jìn)一步開(kāi)創(chuàng)了對(duì)一次同余式理論的研究工作，推廣“物不知數(shù)”的問(wèn)題。德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版的《算術(shù)探究》中明確地寫出了上述定理。1852年，英國(guó)基督教士偉烈亞士將《孫子算經(jīng)》中物不知數(shù)問(wèn)題的解法傳到歐洲，1874年馬蒂生指出孫子的解法

13、符合高斯的定理，從而在西方的數(shù)學(xué)史里將這一個(gè)定理稱為“中國(guó)剩余定理” 。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,14,周髀算經(jīng),孫子算經(jīng),2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,15,1983年在湖北省江陵縣張家山，出土了一批西漢初年，即呂后至文帝初年的竹簡(jiǎn)，共千余支。經(jīng)初步整理，其中有律令、《脈書(shū)》、《引書(shū)》、歷譜、日書(shū)等多種古代珍貴的文獻(xiàn)，還有一部數(shù)學(xué)著作，據(jù)寫在一支竹簡(jiǎn)背面的字跡辨認(rèn)，這部竹簡(jiǎn)算書(shū)的書(shū)名叫《算

14、數(shù)書(shū)》。 《算數(shù)書(shū)》是中國(guó)現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)的最古的一部算書(shū)，大約比現(xiàn)有傳本的《九章算術(shù)》還要早近二百年，而且《九章算術(shù)》是傳世抄本或刊書(shū)，《算數(shù)書(shū)》則是出土的竹筒算書(shū)，屬于更可珍貴的第一手資料，所以《算數(shù)書(shū)》引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，目前正在被深入研究之中。,3、算數(shù)書(shū),2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,16,《數(shù)術(shù)記遺》相傳是漢末徐岳所作，亦有數(shù)學(xué)史家認(rèn)為本書(shū)是北周甄鸞自著。 《數(shù)術(shù)記遺》把大數(shù)的名稱按

15、不同的涵義排列三個(gè)不同的數(shù)列，另一部份是關(guān)于一個(gè)幻方的清楚的說(shuō)明，它成為數(shù)論中這一發(fā)現(xiàn)的最古的文字記載之一，書(shū)中至少提到了四種算盤，因此它是談到算盤的最古老的書(shū)籍。,4、數(shù)術(shù)記遺,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,17,算數(shù)書(shū),數(shù)術(shù)記遺 中的算盤,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,18,根據(jù)研究，西漢的張蒼 、耿壽昌曾經(jīng)做過(guò)增補(bǔ)和整理，其時(shí)大體已成定本。最后成書(shū)最遲在東漢前期。九章算術(shù)將書(shū)中的所有數(shù)學(xué)問(wèn)題

16、分為九大類，就是“九章”。 三國(guó)時(shí)期的劉徽為《九章》作注，加上自己心得體會(huì)，使其便于了解，可以流傳下來(lái)。 唐代的李淳風(fēng)又重新做注(656年)，作為《算數(shù)十經(jīng)》之一，版刻印刷，作為通用教材。,5、九章算術(shù),2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,19,《九章算術(shù)》的出現(xiàn)，標(biāo)志著我國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的正式確立，當(dāng)中有以下的一些特點(diǎn)：1.是一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)體系，全書(shū)表述為應(yīng)用問(wèn)題集的形式；2.以算法為主要內(nèi)容，全書(shū)以問(wèn)

17、、答、術(shù)構(gòu)成，“術(shù)”是主要需闡述的內(nèi)容；3.以算籌為工具。 《九章算術(shù)》取得了多方面的數(shù)學(xué)成就，包括：分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例問(wèn)題、雙設(shè)法、一些面積、體積計(jì)算、一次方程組解法、負(fù)數(shù)概念的引入及負(fù)數(shù)加減法則、開(kāi)平方、開(kāi)立方、一般二次方程解法等?！毒耪滤阈g(shù)》的思想方法對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響。自隋唐之際，《九章算術(shù)》已傳入朝鮮、日本，現(xiàn)在更被譯成多種文字。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,20,6、海島算經(jīng)

18、 《海島算經(jīng)》由三國(guó)劉徽所著，最初是附于他所注的《九章算術(shù)》（263）之后，唐初開(kāi)始單行，體例亦是以應(yīng)用問(wèn)題集的形式。 全書(shū)共9題，全是利用測(cè)量來(lái)計(jì)算高深廣遠(yuǎn)的問(wèn)題，首題測(cè)算海島的高、遠(yuǎn)，故得名?！逗u算經(jīng)》是中國(guó)最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)事著，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,21,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,22,7、算經(jīng)十書(shū) 　 唐代國(guó)子監(jiān)內(nèi)設(shè)立算學(xué)館，置

19、博士、助教指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，規(guī)定《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算經(jīng)》十部算經(jīng)為課本，用以進(jìn)行數(shù)學(xué)教育和考試，后世通稱為算經(jīng)十書(shū)．算經(jīng)十書(shū)是中國(guó)漢唐千余年間陸續(xù)出現(xiàn)的十部數(shù)學(xué)著作．北宋時(shí)期（1084年），曾將一部算經(jīng)刊刻發(fā)行，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)．（此時(shí)《綴術(shù)》已經(jīng)失傳，實(shí)際刊刻的只有九種）。,2024/3/21

20、,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,23,8、測(cè)圓海鏡《測(cè)圓海鏡》由中國(guó)金、元時(shí)期數(shù)學(xué)家 李冶所著，成書(shū)于1248年。全書(shū)共有12卷，170問(wèn)。這是中國(guó)古代論述容圓的一部專箸，也是天元術(shù)的代表作?！稖y(cè)圓海鏡》所討論的問(wèn)題大都是已知 勾股形而求其內(nèi)切圓、旁切圓等的直徑一類的問(wèn)題。在《測(cè)圓海鏡》問(wèn)世之前，我國(guó)雖有文字代表未知數(shù)用以列方程和多項(xiàng)式的工作，但是沒(méi)有留下很有系統(tǒng)的記載。李冶在《測(cè)圓海鏡》中系統(tǒng)而概栝地總結(jié)了天元術(shù)，使文詞代數(shù)開(kāi)始演變成符

21、號(hào)代數(shù)。 所謂天元術(shù)，就是設(shè)“天元一”為未知數(shù)，根據(jù)問(wèn)題的已知條件，列出兩個(gè)相等的多項(xiàng)式，經(jīng)相減后得出一個(gè)高次方式程，稱為天元開(kāi)方式，這與現(xiàn)代設(shè)x為未知數(shù)列方程一樣。歐洲的數(shù)學(xué)家，到了16世紀(jì)以后才完全作到這一點(diǎn)。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,24,測(cè)圓海鏡,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,25,五、國(guó)外古代數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)成果,1、萊因德紙草書(shū) 《萊因德紙草書(shū)》﹝Rhind Papyrus﹞是公元前1

22、650年左右的埃及數(shù)學(xué)著作，屬于世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一。作者是書(shū)記官阿默斯。內(nèi)容似乎是依據(jù)了更早年代﹝1849 B.C. ─1801 B.C.﹞的教科書(shū)，是為當(dāng)時(shí)的包括貴族、祭司等知識(shí)階層所作，最早發(fā)現(xiàn)于埃及底比斯的廢墟中。公元1858年由英國(guó)的埃及學(xué)者萊因德﹝A. H. Rhind﹞購(gòu)得，故名?，F(xiàn)藏于倫敦大英博物館。該紙草書(shū)全長(zhǎng)544厘米，寬33厘米。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,26,紙草書(shū)主要內(nèi)容

23、有分?jǐn)?shù)的分解：,分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算；等差、等比數(shù)列的問(wèn)題；圓、正方形、等腰三角形、等腰梯形的面積；體積計(jì)算；金字塔問(wèn)題；比例問(wèn)題等。,萊因德紙草書(shū)是了解埃及數(shù)學(xué)的最主要依據(jù)。它準(zhǔn)確反映了當(dāng)時(shí)埃及的數(shù)學(xué)知識(shí)狀況，其中鮮明地體現(xiàn)了埃及數(shù)學(xué)的實(shí)用性。對(duì)我們應(yīng)該如何看待數(shù)學(xué)的起源問(wèn)題有很大的啟發(fā)。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,27,公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在前人工作的基礎(chǔ)之上，對(duì)希臘豐富的數(shù)學(xué)成果進(jìn)行了收集

24、、整理，用命題的形式重新表述，對(duì)一些結(jié)論作了嚴(yán)格的證明。他最大的貢獻(xiàn)就是選擇了一系列具有重大意義的、最原始的定義和公理，并將它們嚴(yán)格地按邏輯的順序進(jìn)行排列，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹和證明，形成了具有公理化結(jié)構(gòu)的，具有嚴(yán)密邏輯體系的《幾何原本》。,2、幾何原本,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,28,《幾何原本》是歐幾里得的一部不朽之作，是當(dāng)時(shí)整個(gè)希臘數(shù)學(xué)成果、方法、思想和精神的結(jié)晶，其內(nèi)容和形式對(duì)幾何學(xué)本身和

25、數(shù)學(xué)邏輯的發(fā)展有著巨大的影響。自它問(wèn)世之日起，在長(zhǎng)達(dá)二千多年的時(shí)間里一直盛行不衰。它歷經(jīng)多次翻譯和修訂，自1482年第一個(gè)印刷本出版后，至今已有一千多種不同的版本。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,29,《幾何原本》按照公理化結(jié)構(gòu)，運(yùn)用了亞里士多德的邏輯方法，建立了第一個(gè)完整的關(guān)于幾何學(xué)的演繹知識(shí)體系。所謂公理化結(jié)構(gòu)就是：選取少量的原始概念和不需證明的命題，作為定義、公設(shè)和公理，使它們成為整個(gè)體系的出發(fā)點(diǎn)和邏

26、輯依據(jù)，然后運(yùn)用邏輯推理證明其他命題。《幾何原本》成為了兩千多年來(lái)運(yùn)用公理化方法的一個(gè)絕好典范。 它的影響之深遠(yuǎn)．使得“歐幾里得”與“幾何學(xué)”幾乎成了同義語(yǔ)。它集中體現(xiàn)了希臘數(shù)學(xué)所奠定的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神，是人類文化遺產(chǎn)中的一塊瑰寶。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,30,3、算術(shù) 公元3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的著作《算術(shù)》是關(guān)于代數(shù)的一部最早的巨著，涉及代數(shù)數(shù)論的解析處理問(wèn)題，代表了古希臘代數(shù)思

27、想的最高成就。 并且，這部著作中引用了許多縮寫符號(hào)，如未知量及其各次冪用S、△r、Kr、△r△、△Kr、KrK等符號(hào)。無(wú)論從內(nèi)容與形式上講，這種完全脫離幾何的特征，與當(dāng)時(shí)古希臘歐幾里得幾何盛行的時(shí)尚大異其趣。因此，丟番圖的《算術(shù)》雖然代表了古希臘代數(shù)學(xué)的最高水平，但是它遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了同時(shí)代人，而不為同時(shí)代人所接受，很快就被湮沒(méi)，沒(méi)有對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生太大的影響。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,31,直到

28、15世紀(jì)《算術(shù)》被重新發(fā)掘，鼓舞了一大批數(shù)學(xué)家在此基礎(chǔ)之上，把代數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了。首先是法國(guó)數(shù)學(xué)家蓬貝利認(rèn)識(shí)到《算術(shù)》的重大價(jià)值，他的同胞韋達(dá)正是在丟番圖縮寫代數(shù)的啟示下才做出了符號(hào)代數(shù)的貢獻(xiàn)，到17世紀(jì)，費(fèi)馬手持一本《算術(shù)》，并在其空白處寫寫畫畫，竟把數(shù)論引上了近代的軌道?！端阈g(shù)》中的不定分析，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響也很深遠(yuǎn)，在不同數(shù)域上，凡是涉及不定方程求解問(wèn)題，現(xiàn)在都稱之為“丟番圖方程”或“丟番圖分析”。,2024/3

29、/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,32,4、代數(shù)學(xué) 《代數(shù)學(xué)》由伊斯蘭數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家花拉子莫﹝約783─約850﹞所著，該書(shū)1183年被譯成拉丁文傳入歐洲。比較流行的一種說(shuō)法認(rèn)為西文中“代數(shù)學(xué)”﹝Algebra﹞一詞是由阿拉伯文的拉丁轉(zhuǎn)寫al-jabr演變而來(lái)，后漸稱該書(shū)為《代數(shù)學(xué)》，一般認(rèn)為該著作是近代意義下的代數(shù)學(xué)的真正肇始之作。,全書(shū)由三部分組成，第一部份講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)；第二部份講各種實(shí)用算術(shù)問(wèn)題。最后

30、列舉了大量有關(guān)遺產(chǎn)繼承的各種問(wèn)題。全書(shū)不使用符號(hào)，而是用語(yǔ)言敘述。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,33,5、幾何學(xué) 《幾何學(xué)》是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒一生中所寫的惟一的數(shù)學(xué)著作。它是作為笛卡兒的名著《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》（簡(jiǎn)稱《方法論》）的三個(gè)附錄之一，于1637年出版的。 《幾何學(xué)》在《方法論》中大約占100頁(yè)，共分三卷，討論的全是關(guān)于幾何作圖問(wèn)題。笛卡兒在這本書(shū)中，將邏輯、代數(shù)

31、和幾何方法結(jié)合到一起，勾畫了解析幾何的方法。笛卡兒所提出的方程與曲線的思想，最終被人們所逐漸接受，并且《幾何學(xué)》也被認(rèn)為是論述解析幾何的一部經(jīng)典之作。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,34,《幾何學(xué)》首頁(yè),笛卡兒，1596－1650，法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，解析幾何學(xué)奠基人之一。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,35,6、幾何基礎(chǔ) 《幾何基礎(chǔ)》（Grundlagen der Geometrie

32、）是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特所著，1899年初版，此后不斷再版，至1930年已出第七版。希爾伯特精確地提出公理體系應(yīng)有相容性、獨(dú)立性和完備性的要求，把空間內(nèi)的點(diǎn)、直線、平面作為不定義的概念，規(guī)定它們之間存在著關(guān)聯(lián)關(guān)系順序關(guān)系、合同關(guān)系，這些關(guān)系由五組公理得以保障：關(guān)聯(lián)公理；順序公理；合同公理；平行公理；連續(xù)公理。記述了希爾伯特為歐幾里得幾何學(xué)給出的上述公理體系的《幾何基礎(chǔ)》出版后，立即引起了整個(gè)數(shù)學(xué)界的關(guān)注，并視為一部

33、經(jīng)典的著作。因?yàn)?，希爾伯特上述工作的意義遠(yuǎn)超出了幾何基礎(chǔ)的范圍，而使他成為現(xiàn)代公理化方法的奠基人。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,36,六、學(xué)習(xí)數(shù)論的意義,本課程主要簡(jiǎn)單介紹在初等數(shù)論研究中經(jīng)常用到的若干基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、方法和技巧。,通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深對(duì)整數(shù)的性質(zhì)的了解，更深入地理解初等數(shù)論與其它鄰近學(xué)科的關(guān)系, 使學(xué)生掌握初等數(shù)論的基本理論和方法，為從事中小學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，

34、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)論理論研究的能力，將數(shù)論應(yīng)用于其他學(xué)科，尤其是信息科學(xué)研究的能力。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,37,數(shù)論是一門高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長(zhǎng)期以來(lái)，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用，但多數(shù)人不清楚它的實(shí)際意義。 由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在

35、有些國(guó)家應(yīng)用“孫子定理”來(lái)進(jìn)行測(cè)距，用原根和指數(shù)來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算方法去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度成為可能。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,38,七 主要參考書(shū)1. 王雪琴 《初等數(shù)論》 東北林業(yè)大學(xué)出版社 20022. 戎士奎 《十章數(shù)論》 貴州教育出版社 1994

36、3. 閔嗣鶴 《初等數(shù)論》 高等教育出版社 19584. 陳景潤(rùn) 《初等數(shù)論》 科學(xué)出版社 19885. U?杜德利著周仲良譯《基礎(chǔ)數(shù)論》上?？萍汲霭嫔?19826. 潘承洞、潘承彪著《初等數(shù)論》 北京大學(xué)出版社 19997. 編委會(huì) 《初等數(shù)論》 開(kāi)明出版社 1998,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,39,附：相關(guān)數(shù)學(xué)家,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,40,歐幾里得[前330年～前2

37、75年]歐氏幾何學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者 ，古希臘數(shù)學(xué)家，以其所著的《幾何原本》聞名于世。,丟番圖Diophante 246～330“代數(shù)學(xué)之父”古希臘數(shù)學(xué)家，著《算術(shù)》,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,41,劉徽，生于公元250年左右，三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家，是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，著《九章算術(shù)注》10卷；《海島算經(jīng)》；《九章重差圖》.割圓術(shù)求圓面積和圓周率.,祖沖之，429─500，數(shù)學(xué)家，科學(xué)家，算出π在3.14159

38、26和3.1415927之間，求球體積公式著有《綴術(shù)》.天文歷法和機(jī)械方面的成就〔略〕。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,42,宋元數(shù)學(xué)四大家,秦九韶[約1202～1261]，著《數(shù)書(shū)九章》,最重要的數(shù)學(xué)成就——“大衍總數(shù)術(shù)”[一次同余組解法]與“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”[高次方程數(shù)值解法]，在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出地位。,李冶1192～1279, 著《測(cè)圓海鏡》，主要目的就是說(shuō)明用開(kāi)元術(shù)列方程的方法。“開(kāi)元術(shù)”與現(xiàn)代代

39、數(shù)中的列方程法相類似。,朱世杰[1300前后]，著《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》?！端銓W(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展。《四元玉鑒》則是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)作有“四元術(shù)”[多元高次方程列式與消元解法]、“垛積法”[高階等差數(shù)列求和]與“招差術(shù)”[高次內(nèi)插法]。,楊輝[1250前后]，是世界上第一個(gè)排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。著《詳解九章算法》,《日用算

40、法》等。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,43,費(fèi)馬 [法]1601-1665，是數(shù)學(xué)史上最偉大的業(yè)余數(shù)學(xué)家，提出了費(fèi)馬大、小定理；在坐標(biāo)幾何，無(wú)窮小，概率論等方面有巨大貢獻(xiàn)。,哥德巴赫 1690-1764， 德國(guó)數(shù)學(xué)家；曾擔(dān)任中學(xué)教師，1725年到俄國(guó)，被選為彼得堡科學(xué)院院士.,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,44,歐拉1707－1783，瑞士數(shù)學(xué)家，自然科學(xué)家。是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，每年

41、寫出八百多頁(yè)的論文，《無(wú)窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。,高斯1777—1855，德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,45,勒讓德[法]1752～1833，在分析學(xué)、數(shù)論、初等幾何與天體力學(xué)，取得了許多成果，是橢圓積分理論奠基人之一。對(duì)

42、數(shù)論的主要貢獻(xiàn)是二次互反律，還是解析數(shù)論的先驅(qū)者之一.,雅可比[德]1804～1851，在偏微分方程中，引進(jìn)了“雅可比行列式。對(duì)行列式理論作了奠基性的工作，在代數(shù)學(xué)、變分法、復(fù)變函數(shù)論、分析力學(xué) 、動(dòng)力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面也有貢獻(xiàn)。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,46,希爾伯特[德]1862～1943，他領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)派是19世紀(jì)末20世紀(jì)初數(shù)學(xué)界的一面旗幟，希爾伯特被稱為“數(shù)學(xué)界的無(wú)冕之王”。著《數(shù)論報(bào)告

43、》、《幾何基礎(chǔ)》、《線性積分方程一般理論基礎(chǔ)》.,華羅庚1910—1985，是中國(guó)解析數(shù)論、矩陣幾何學(xué)、典型群、自安函數(shù)論等多方面研究的創(chuàng)始人和開(kāi)拓者。以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果很多。被列為芝加哥科學(xué)技術(shù)博物館中當(dāng)今世界88位數(shù)學(xué)偉人之一。,2024/3/21,阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)科院,47,陳景潤(rùn)1933－1996，主要研究解析數(shù)論，他研究哥德巴赫猜想和其他數(shù)論問(wèn)題的成就，至今仍然在世界上遙遙領(lǐng)先。其成果也被稱之為陳