初等數(shù)論 (6)

1、初等數(shù)論教學(xué)設(shè)計(jì),唐山師范學(xué)院灤州分校朱國(guó)Email:tsmaths@126.com,序言,,歐幾里德 高斯,費(fèi)馬,歐拉,拉格朗日 畢達(dá)格拉斯,數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門(mén)很古老的數(shù)學(xué)分支， 其初等部分是以整數(shù)的整除性為中心的，包括整除性、不定方程、同余式、連分?jǐn)?shù)、素?cái)?shù)（即整數(shù)）分布 以及數(shù)論函數(shù)等內(nèi)容，統(tǒng)稱(chēng)初等數(shù)論（elementary number t

2、heory）。,初等數(shù)論的大部份內(nèi)容早在古希臘歐幾里德的《 幾何原本》中就已出現(xiàn)。歐幾里得證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，他還給出求兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)的方法， 即所謂歐幾里得算法。我國(guó)古代在數(shù)論方面亦有杰出之貢獻(xiàn)，現(xiàn)在一般數(shù)論書(shū)中的“中國(guó)剩余定理”正是我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》中的下卷第26題，我國(guó)稱(chēng)之為“孫子定理”。,近代初等數(shù)論的發(fā)展得益于費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算術(shù)探究》是數(shù)論的劃時(shí)代杰作。高斯還提出

3、：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王”?？梢?jiàn)高斯對(duì)數(shù)論的高度評(píng)價(jià)。,由于自20世紀(jì)以來(lái)引進(jìn)了抽象數(shù)學(xué)和高等分析的巧妙工具，數(shù)論得到進(jìn)一步的發(fā)展，從而開(kāi)闊了新的研究領(lǐng)域，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、幾何數(shù)論等 新分支。而且近年來(lái)初等數(shù)論在計(jì)算器科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、代數(shù)編碼、計(jì)算方法等領(lǐng)域內(nèi)更得到了 廣泛的應(yīng)用，無(wú)疑同時(shí)間促進(jìn)著數(shù)論的發(fā)展。,數(shù)論是以嚴(yán)格和簡(jiǎn)潔著稱(chēng)，內(nèi)容既豐富又深刻。我將會(huì)介紹數(shù)論中最基本的概念和理論，希望大家能對(duì)這門(mén)學(xué)問(wèn)產(chǎn)

4、生興趣，并且對(duì)中小學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)過(guò)的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法等，有較深入的了解。,一、 基本內(nèi)容 整除，因數(shù)與倍數(shù)，帶余除法，最大公因數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法，最小公倍數(shù)，素?cái)?shù)與復(fù)合數(shù)，算術(shù)基本定理與標(biāo)準(zhǔn)分解式，Eratosthenes篩法，Mersenne數(shù)，F(xiàn)ermat數(shù)，完全數(shù)，線(xiàn)性不定方程，抽屜原理。,基本概念：,自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)）：,把0，1，2，3，…，n叫做自然數(shù)。,自然數(shù)集N,正整數(shù)，正

5、整數(shù)集,整數(shù)、整數(shù)集z,第一節(jié) 進(jìn)位制與計(jì)數(shù)法,一、十進(jìn)位制及其計(jì)數(shù)法,進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱(chēng)n進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱(chēng)n進(jìn)制。現(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。,一般地說(shuō)，進(jìn)率是幾，就叫做幾進(jìn)位制。例如有二進(jìn)位制、八進(jìn)位制、十進(jìn)位制、十二進(jìn)位制、六十進(jìn)位制等。我們通常是用“十進(jìn)位制計(jì)數(shù)法”，它的特點(diǎn)是相鄰兩個(gè)單位之間的進(jìn)率都是“十

6、”（即滿(mǎn)十進(jìn)一），用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9，0和位值原則結(jié)合起來(lái)記數(shù)。如一百三十五記作135。,對(duì)于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來(lái)表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。,常見(jiàn)的進(jìn)位制： 二進(jìn)制廣泛用于計(jì)算機(jī) 三進(jìn)制用于軍隊(duì)編制 十進(jìn)制最常用 十二進(jìn)制時(shí)辰、月份、一打物品 十六進(jìn)制廣泛用于計(jì)算機(jī) 六十進(jìn)制秒、分,

7、角度,不同進(jìn)位制之間的互化：,,例：二進(jìn)制的四則運(yùn)算,,化成十進(jìn)制,例二、化成二進(jìn)制,例三、二進(jìn)制與八進(jìn)位互換,例4 已知求證：,例5 一個(gè)六位數(shù) 與3之積等于 ，求這個(gè)六位數(shù)。,例6 現(xiàn)有1克、2克、4克、8克、16克的砝碼各一個(gè)，若只能獎(jiǎng)罰碼放在天平的一段，問(wèn)能稱(chēng)出多少種不同質(zhì)量的物品？若稱(chēng)23克的物品，因故和選配上述砝碼。,解答題：1．  把8743（10）化為七進(jìn)位制

8、。 2．  把十進(jìn)位制625 化為二進(jìn)位制。 3．  把下列各數(shù)化為十進(jìn)位制數(shù)。 （1）

9、0;   10110（10）；（2）21021（3）； （3）235（16）,4． 把下列各數(shù)化為二進(jìn)位制數(shù)，三進(jìn)位制數(shù) 。（1）    145(10)；（2）153(8) ； （3）215(12)5. 把下列各數(shù)化為二進(jìn)位制小數(shù)：