初等數論單元復習

1、單元小結,,第一章 整數的整除性,,定義1.1 設 a，b ∈Z ，b≠0，如果存在 q ∈Z ，使得等式 a＝bq成立．我們就說，a能被b整除或b整除a ，記作b | a．如果整數 q 不存在( 即對任何整數 q，恒有bq ≠a ),那么就說a不能被 b 整除 (或者說b不能整除a)，記作 b ｜a。,1.1整除1、整除的概念：,如果整數 a 能被整數b (b ≠0) 整除(即b | a)，那么 a就叫做 b 的倍數，b就

2、叫做a的約數.,2、當然約數與真約數:一般地，在整數a的約數中± l與±a叫做整數a的當然約數；除±1與±a之外，a的其它約數叫做a的真約數(或非當然約數)。,,,(5) x, y為任意整數，若 a ? b , a ?c , 則a ?(bx+cy)；,(6) 若 m≠0, 則a ? b 的充分必要條件是ma ?m b,(7) 若a ? b , b ? a，則 a =± b,(8) 若

3、a ，b ∈N+, a ? b , 則a ≤ b,(9) 若a是b的真約數，則1＜ ? a ?＜ ? b ?,4、整除的基本性質:,4、帶余除法,設a, b是兩個整數，b ≠ 0，則一定有并且只有兩個整數 q , r 使得 a= bq + r,0≤r<︱b︱ 成立，而且q與r是唯一的．求兩個數的不完全商q和余數的運算叫做帶余除法運算(或有余數除法運算)．,1、奇數與偶數的定義: 根據整除概念我們把能被2整除的整

4、數叫做偶數，不能被2整除的整數叫做奇數，它們的一般表示式為： 偶數N=2n(n為整數)，奇數N＝2n+l(n為整數)．,二、 奇數與偶數,2、奇數與偶數具有下面性質：,性質1 (關于偶數) (1) 任意個偶數的和(或差)是偶數； (2) 任意一個整數與偶數的積是偶數，　　特別地，n 個偶數的積是 2n 的倍數（ n∈N+）.,性質2 (關于奇數),(1) 雙數個奇數的和是偶數； (2) 單數個奇

5、數的和是奇數； (3) 任意個奇數的積還是奇數。性質3 奇數與偶數的和是奇數.性質4 任一奇數與任一偶數不相等.,三、數的整除特征一個數被 2 , 5 , 4 , 25 , 8,125,3 , 9 , 7 , 11 , 13 等數整除的特征．,(1) 能被 2 (或 5)整除的數的特征是：這個數末位數能被 2 或 5 整除； (2) 能被 4 (或 25 )整除的數的特征是這個數的末兩位上的數字所組成的數能被 4

6、 或 25 整除； (3) 能被 8 (或 125 )整除的數的特征是這個數的末三位上的數字所組成的數能被 8 或 125 整除．,,,(4)能被9(或3)整除的數的特征是這個數的各個數位上的數字之和能被9(或3)整除.(5)能被11整除的數的特征是這個數的偶數位上的數字之和與奇數位上的數字之和的差能被11整除.(6)被7,11,13整除的數特征是: 將這個數從個位起從右往左每三位分成一節(jié), 奇數節(jié)的數之和與偶數節(jié)的數之和,

7、 所得的差能被 7, 11, 13整除.練習1、整數637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 2、整數53340□能被11整除, □內是_________,,1.2最大公約數與最小公倍數1. 最大公約數：⑴一般地，n個整數的公有的約數，叫做這n個數的公約數，n個數的公約數中最大的一個數，叫做這n個數的最大公約數． 整數a1 ,a2, …,an(n≥2，n∈N)的最大公約數用符號(

8、a1 ,a2 , …,an)來表示． ⑵ 如果兩個整數的最大公約數是1，那么這兩個數叫做互質數，或者說，這兩個數互質．,（3）n 個數互質,若(a1 ，a2 ， …，an) =1, 那么就叫做這 n 個數互質． 例如，(2，4，9)＝1，我們就說2，4，9這三個數互質．,如果 a1 ，a2 ， …，an ( n≥2) 中的任意兩個數 ai, aj ( i ≠ j, I ＝ 1, 2, … , n；j ＝1, 2, …, n)

9、互質，即 (ai, aj ) ＝1，那么就叫做這 n 個整數兩兩互質．,（4）n 個數兩兩互質,,設a，b為兩個任意自然數,a>b，如果 a＝bq1+r1 (0<r1<b)， b＝r1q2+r2 (0<r2<r1)， r1＝r2q3+r3 (0<r3<r2)， … rn-3＝rn-2

10、qn-1+rn-1 (0<rn-1<rn-2)， rn-2＝rn-1qn+rn (0<rn<rn-1)， rn-1＝rnqn+1,　那么 (a，b)＝rn．,輾轉相除法,,例：試求377與319的最大公約數．,解 由377除以319，得 377＝319 ×1＋58，由319除以58，得 319＝58 × 5 ＋29，由58除以29，得

11、 58＝29 × 2． 由定理1．9的推論可知，最后一個不為零的余數就是377與319的最大公約數，即(377，319)＝29．,,⑷性質：定理1.3.3推論1(裴蜀恒等式) 如果兩個數a，b的最大公約數是d，那么存在兩個整數x與y，使得等式ax+by＝d成立．(可以推廣到n個數的情況)推論2：兩個數a，b互質的必要且充分條件是存在整數x與y,使ax＋by＝1成立。,推論1的推廣,設 a1 ,a2 ,

12、…, an ∈N+ (n≥2) ，則一定存在整數 s1, s2, …, sn，使 a1s1＋a2s2 ＋ … ＋ ansn＝ (a1 ,a2 , …,an ) .,,2. 最小公倍數 ⑴意義：n個整數公有的倍數，叫做這n個數的公倍數，n個整數的非零公倍數中最小的正數叫做這n個數的最小公倍數．自然數a1, a2 , …,an (n≥2，n∈N)的最小公倍數，用符號 [a1, a2 , …,an ]表示．⑵ 性質：１）

13、n 個數的最小公倍數能整除它們的任何一個公倍數，就是如果 d=[a1,a2 , …,an ]，D是a1, a2 , …,an的任意一個公倍數，那么 d |D．,2)兩個數的最大公約數與最小公倍數的積等于這兩個數的積，就是(a，b) × [a，b] =a b 推論 若(a,b)=1，則[a,b]=ab,定理1.3.8與定理1.3.9 可類比定理1.3.6與定理1.3.7 得到。,,定理1. 3. 6

14、(a1，a2，…，ak) = d的充要條件是,最大公約數與最小公倍數的其他性質,多個數的最大公約數和最小公倍數,定理1.3.10,定理1.3.11,由此表明，多個數的最大公約數、最小公倍數可以由求兩個數的最大公約數與最小公倍數逐步求出．,定理1.3.13 若a | bc, 且 (a, b) =1, 則 a | c.,定理1.3.14 若 (a, b)=1, 則 (a, bc) = (a, c).,我喜歡數學,互質的性質,,定理1.3.

15、15 若a | c, b | c, (a, b)=1, 則 ab | c.,,1.3質數與合數 算術基本定理1. (1) 質數(素數)：一個大于1的自然數，如果只能被1和它本身整除(即只有1和它本身兩個正約數)，這個自然數就叫做質數(或素數)。(2) 合數；一個大于1的自然數，除了能被1和它本身整除外，還能被其它的正整數整除，這個自然數就叫做合數．(3) 自然數1，即不是質數，也不是合數。2. 質數的判定：１）

16、查表法；２)試除法．,試除法依據,,定理1．23 如果a是合數，p是a的最小約數，那么 p≤,推論 如果一個大于1的數a不能被不大于 　　　　的任一質數整除，那么a是質數．,,例：判斷667與991是質數還是合數,解 由于　　　　　　　　，因此用2～25之間的質數去試除，試除結果有23｜667，所以667是合數．由于　　　　　　　，因此用2～31之間的質數去試除，由試除結果可知2～31之間的質數都不能整除991，所

17、以991是質數；,,3. 相關定理1）一個質數如果不能整除一個自然數，那么它就和這個自然數互質。2）大于1的自然數，至少有一個約數是質數。3）質數的個數無限。４）算術基本定理：把一個合數分解質因數，如果不考慮質因數的次序，分解的結果是唯一的．５）質數與互質數是兩個不同的概念,整數N的標準分解式,根據算術基本定理，如果把一個整數N的質因數分解式中的質因數按照從小到大的順序排列，并且相同的質數連乘都用冪的形式表示，那么整數N的質因

18、數分解的結果可以寫成下面形式 這里p1<p2<p3<…<pn，且p1，p2，p3，…，pn都是質數，α1, α2, …, αn是自然數，其中αi表示質數pi在N中出現的重數．通常把上面分解式叫做整數N的標準分解式．,定理1.4.3 和 推論,我喜歡數學,定理1.4.3 設 ，則 d 是 a 的正約數的充要條件是,自然數的所有正約數的個數及所有正約數的和與積,我喜歡數學

19、,,定義 1.7 τ( a )表示正整數 a 的所有正約數的個數 (也稱除數函數 ) 如 τ( 2 ) = 2 , τ( 4 ) = 3 ，等等． σ( a )表示正整數 a 的所有正約數的和，如 σ(2) = 3, σ( 4 ) = 7，等等。 σ1( a)表示正整數 a 的所有正約數的乘積．如σ1( 4 ) = 8 , σ1( 10 ) = 100，等等．,定理1. 26 如果自然數a的標準分解式為

20、那么 (1)τ(a) ＝ (α1 +1)(α2 +1)…(αn +1) = ∏(αi+1)． (2)σ(a) ＝ (1+ p1+ p12+…+ p1 α1 ) (1+ p2+ p22+… + p2α2) …(1+ pn+ pn2+…+ pn αn ),(3)σ1(a) ＝,,例1、 已知兩個數的最大公約數為8，最小公倍數為128，求這兩個數．,解 設這兩個數為a，b,則由定理1．10的推論2可知存在整數

21、，使a＝8t1，b=8t2，且(t1，t2)=1． 因為ab＝(a，b)X [a，b]，所以得 64 t1t2 =8 X128， t1t2＝16 由于(t1,t2)＝1，所以　　　　 t1=1，t2＝16或t1=16，t2＝1．因此所求的兩數為 a=8，b＝128(或a＝128，b=8)．,例2、用分解質因數法求數1200與1134的最大公約數最小公倍數．,解 因為1200=24×3

22、15;52，1134=2×34×7． 所以 (1200，1134)＝2 × 3＝6． [1200，1134]＝ 24× 34×52× 7＝226800．說明 通過分解質因數求幾個數最大公約數與最小公倍數的方法是這樣的: 先將所給的各個數分別進行質因數分解．把每個公有的質因數，取指數最小的冪相乘，所得的結果就是這幾個數的最大公約數，如果把各個

23、公有的質因數的最高次冪以及各個數獨有的質因數的冪相乘，所得的結果就是這幾個數的最小公倍數．,例3、 設a1，a2，…，a11是整數，b1, b2, ， … ,b11是它們的一個排列，求證乘積(a1-b1)(a2-b2)…(a11 –b11)是偶數。,證明 設ci＝ai–bi(i=1,2,…,11)，則ci中至少有偶數，因為若ci都是奇數，則它們的和為奇數，,又因為,c1+c2+…+c11＝(a1－b1)+(a2－b2)+…+(a1