初等數(shù)論練習(xí)題答案

1、初等數(shù)論練習(xí)題一初等數(shù)論練習(xí)題一一、填空題1、d(2420)=12(2420)=_880_?2、設(shè)an是大于1的整數(shù)，若an1是質(zhì)數(shù)，則a=_2.3、模9的絕對最小完全剩余系是_4，3，2，101234.4、同余方程9x12≡0(mod37)的解是x≡11(mod37)。5、不定方程18x23y=100的通解是x=90023t，y=70018tt?Z。.6、分母是正整數(shù)m的既約真分數(shù)的個數(shù)為_?(m)_。7、18100被172除的余數(shù)是

2、_256。8、=1。??????103659、若p是素數(shù)，則同余方程xp?1?1(modp)的解數(shù)為p1。二、計算題1、解同余方程：3x2?11x?20?0(mod105)。解：因105=3?5?7，同余方程3x2?11x?20?0(mod3)的解為x?1(mod3)，同余方程3x2?11x?38?0(mod5)的解為x?0，3(mod5)，同余方程3x2?11x?20?0(mod7)的解為x?2，6(mod7)，故原同余方程有4解。作

3、同余方程組：x?b1(mod3)，x?b2(mod5)，x?b3(mod7)，其中b1=1，b2=0，3，b3=2，6，由孫子定理得原同余方程的解為x?13，55，58，100(mod105)。2、判斷同余方程x2≡42(mod107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(?????????????????????

4、????）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：?故同余方程x2≡42(mod107)有解。3、求（12715634）28除以111的最小非負余數(shù)。3（p，4）=1，（p，3）=1，（p，7）=1。由歐拉定理知：p?(4)≡p2≡1(mod4)，從而p6≡1(mod4)。同理可證：p6≡1(mod3)p6≡1(mod7)。故有p6≡1(mod84)。注：設(shè)p是不等于3和7的奇質(zhì)數(shù)，證明：p6≡1(mod168)。

5、（見趙繼源p86）初等數(shù)論練習(xí)題二一、填空題1、d(1000)=_16_；σ(1000)=_2340_.2、2010!的標準分解式中，質(zhì)數(shù)11的次數(shù)是199__.3、費爾馬(Fermat)數(shù)是指Fn=1這種數(shù)中最小的合數(shù)Fn中的n=5。n224、同余方程13x≡5(mod31)的解是x≡29(mod31)___5、分母不大于m的既約真分數(shù)的個數(shù)為?(2)?(3)…?(m)。6、設(shè)7∣(80n1)則最小的正整數(shù)n=_6__.7、使41x1

6、5y=C無非負整數(shù)解的最大正整數(shù)C=__559__.8、=_1__.??????101469、若p是質(zhì)數(shù)，n?p?1，則同余方程xn?1(modp)的解數(shù)為n.二、計算題1、試求被19除所得的余數(shù)。200420032002解：由2002≡7(mod19)20022≡11(mod19)20023≡1(mod19)又由20032004≡22004≡（22）1002≡1(mod3)可得：≡20023n1≡(20023)n2002≡7(mod1

7、9)2004200320022、解同余方程3x14?4x10?6x?18?0(mod5)。解：由Fermat定理，x5?x(mod5)，因此，原同余方程等價于2x2?x?3?0(mod5)將x?0，?1，?2(mod5)分別代入上式進行驗證，可知這個同余方程解是x?1(mod5)。3、已知a=5，m=21求使ax?1(modm)成立的最小自然數(shù)x。解：因為（521）=1，所以有歐拉定理知5?(21)≡1(mod21)。又由于?(21)=