王進明 初等數(shù)論 習題解答

1、王進明王進明初等數(shù)論初等數(shù)論習題及作業(yè)解答習題及作業(yè)解答P17習題111，2(2)(3)3，7，11，12為作業(yè)。1已知兩整數(shù)相除，得商12，余數(shù)26，又知被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)之和為454求被除數(shù).解：12261226454abab??????12261226454bb?????b=30被除數(shù)a=12b26=36026=386.(121)454122626390b??????這題的后面部分是小學數(shù)學的典型問題之一——“和倍”問題。2證

2、明：(1)當n∈Z且時，r只可能是01839(09)nqrr????證：把n按被9除的余數(shù)分類，即：若n=3kk∈Z，則r=0；3327nk?若n=3k1k∈Z，則r=1；3322(3)3(3)3(3)19(331)1nkkkkkk????????若n=3k－1k∈Z，則r=8.33232(3)3(3)3(3)19(331)8nkkkkkk?????????(2)當n∈Z時，的值是整數(shù)。32326nnn??證因為=，只需證明分子是6的倍

3、數(shù)。32326nnn??32236nnn??3223nnn??32223(231)(1)(21)nnnnnnnnn????????=.(1)(21)nnnn?????(1)(2)nnn???(1)(1)nnn??由k!必整除k個連續(xù)整數(shù)知：66|.|(1)(2)nnn??(1)(1)nnn??或證：2!|必為偶數(shù).故只需證3|.(1)nn?(1)nn?(1)(21)nnn??若3|n顯然3|；若n為3k1k∈Z，則n－1是3的倍數(shù)，得知

4、(1)(21)nnn??為3的倍數(shù)；若n為3k－1k∈Z，則2n－1=2(3k－1)－1=6k32n－1(1)(21)nnn??是3的倍數(shù).綜上所述，必是6的倍數(shù)故命題得證。(1)(21)nnn??(3)若n為非負整數(shù)，則133|(11n2122n1)證明：利用11n2122n1=12111n12144n=13311n12(144n－11n)及例5的結論(4)當m，n，l∈N時，的值總是整數(shù)()!!!!mnlmnl??證明：=()!mn

5、l??()(1)(1)()(1)(1)!mnlmnlnlnlnlll??????????????若q為偶數(shù)，則為偶數(shù)，但是奇數(shù)，它們的和也不可能為0。2bpqcq?2ap6在黑板上寫出三個整數(shù)，然后擦去一個，換成其他兩數(shù)之和加1，繼續(xù)這樣操作下去，最后得到三個數(shù)為35，47，83問原來所寫的三個數(shù)能否是2，4，6解：不能因為原來所寫的三個數(shù)若是2，4，6，每次操作后剩下的三個數(shù)是兩偶一奇7將1—99這99個自然數(shù)依次寫成一排，得一多位數(shù)

6、A＝1234567891011…979899，求A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余數(shù)分別是多少解：由數(shù)的整除特征，2和5看末位，∴A除以2余1，A除以5余4；4和25看末兩位，∴A除以4余3，A除以25余24；8和125看末三位，∴A除以8余3，且除以125余24；3和9看各位數(shù)字的和，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，A所有數(shù)字的和等于450∴A除以3和9都余0，A除以11的余數(shù)利用定理1.4計算奇數(shù)位數(shù)字之

7、和－A的偶數(shù)位數(shù)字之和奇數(shù)位數(shù)字之和13579(01…9)9，偶數(shù)位數(shù)字之和2468(12…9)10，兩者之差為－40，原數(shù)除以11的余數(shù)就是－40除以11的余數(shù)：4.8四位數(shù)7x2y能同時被2，3，5整除，求這樣的四位數(shù)解：同時被2，5整除，個位為0，再考慮被3整除，有4個：7020，7320，7620，79209從56789這五個數(shù)字中選出四個不同的數(shù)字組成一個四位數(shù)，它能同時被357整除，那么這些四位數(shù)中最大的一個是多少？被5整除

8、，個位必為5.5678=265679=275689=285789=29中唯27能被3整除，故選出的四個不同的數(shù)字是5679但不同排序有976596757965769569756795從最大的開始試除，得9765=71395，那么要求的就是9765了。10111至1001各數(shù)按以下的格式排列成表，像表中所示的那樣用—個正方形框住其中的9個數(shù)，要使9個數(shù)的和等于(1)2001，(2)2529，(3)1989，能否辦到如能辦到，寫出框里的最小

9、數(shù)與最大數(shù)如辦不到，說明理由1234567891011121314151617181920212223242526272899599699799899910001001?????解：設框里居中心的數(shù)為x則9個數(shù)的和等于9x.(1)9不能整除2001，∴和等于2001辦不到；(2)9x=2529，x=281，是所在行第一個數(shù)，∴和等于2529辦不到；(3)9x=1989，x=221，和等于1989能辦到，框里的最大數(shù)為x8=229，最小數(shù)