量子習題解答

1、波粒二象性概要,2、光電效應：,紅限頻率v0 = A / h,1、光的粒子性:,3、康普頓散射：,X光經(jīng)散射有兩種成分,,波長不變,波長變長,——康普頓散射,(康普頓散射公式),4、德布羅意假設：,5、物質(zhì)波波函數(shù)Ψ= Ψ(x,y,z,t):,(1)單值、有限、連續(xù),(2) |Ψ|2為概率密度,6、不確定關(guān)系：,量子物理概要,1、黑體輻射:,?普朗克能量子假說（1900） ：諧振子的能量 只可能是： E =nhv

2、， n = 1, 2 , 3...,?普朗克熱輻射公式（1900） ：黑體的光譜輻射出射度，即在單位時間內(nèi)從單位表面積發(fā)出的頻率在 v附近單位頻率區(qū)間的電磁波的能量為,或,?斯特藩-玻耳茲曼定律：黑體對所有頻率總的輻射出射為,?光電效應（1921）：,紅限頻率v0 = A / h,?愛因斯坦光量子假說（1905）:,? 康普頓散射（1923）：,2、光的粒子性:,4、不確定關(guān)系(1927)：,5、氫原子光譜(1913),譜線的波數(shù)

3、,頻率條件：,角動量量子化條件：,位置動量不確定關(guān)系：,能量時間不確定關(guān)系：,6、薛定諤方程(1926)（一維）,定態(tài)薛定諤方程（一維） ：,,7、薛定諤方程舉例（一維）,一維無限深勢阱中的粒子,能量量子化,德布羅意波長量子化,類似于經(jīng)典的兩端固定的弦駐波,,0,0≤x≤a,xa,本征函數(shù),勢壘穿透：微觀粒子可以進入其勢能（有限的）大于其總能量的區(qū)域，這是由不確定關(guān)系決定的。 在勢壘有限的情況下，粒子可以穿過勢壘到達另一側(cè)，這種現(xiàn)象又稱

4、隧道效應。,諧振子,能量量子化,零點能,8、氫原子：,主量子數(shù),n=1,2,3…,軌道量子數(shù),l=0,1,2,3…,n-1,軌道磁量子數(shù),ml=-l,-(l-1),…,0,1,..,l,9、電子自旋(1926),電子自旋角動量,電子自旋在空間某一方向的投影,ms只有1/2（向上）和-1/2（向下）兩個值，為自旋磁量子數(shù)。,軌道角動量和電子自旋角動量的合角動量,玻爾磁子,電子自旋磁矩在磁場中的能量,10、多電子原子的電子組態(tài),電子的狀態(tài)用

5、4 個量子數(shù)n,l,ml,ms確定。n相同的狀態(tài)組成一殼層，可容納2n2個電子；l相同的狀態(tài)組成一次殼層，可容納2（2l+1)個電子。,基態(tài)原子電子組態(tài)遵循兩個規(guī)律：,（1）能量最低原理，即電子總處于可能最低的能級。一般n越大，l越大，能量就越高。,（2）泡利不相容原理(1921)，不可能有兩個或兩個以上的電子處在同一量子狀態(tài)。即不能有兩個電子具有相同的n, l, ml , ms。,例1,黑體輻射例題,實驗測得太陽單色輻出度峰值對應的波

6、長 若將太陽當作黑體，估算：,（1）太陽表面的溫度T。,（2）太陽輻出度 。,,解：,,,（1）由維恩位移定律得：,（2）斯特藩-玻耳茲曼定律得：,例2 （19屆12題） 對太陽

7、光譜的強度分析，確認太陽輻射本領(lǐng)的峰值在465nm處。將太陽處理為黑體，可知太陽表面溫度為_________K，單位面積上輻射功率為_________W/m2,(斯忒藩-玻耳茲曼常數(shù) 維恩常數(shù)b=2.898×10-3mK)。,（第一空）,斯忒藩-玻耳茲曼定律為,（第二空）,,解： 由維恩位移定律 知,,光的粒子性例題,例3（

8、20屆10題）能使某種金屬產(chǎn)生光電效應的入射光最小頻率為6.0×1014Hz,此種金屬的電子逸出功為________。若在金屬表面上再施加U=3V的反電壓，那么可激起光電流的入射光最小頻率為________。（普郎克常量h=6.63×10-19C),,解：∵ EK=hv-A,當EK=0時，A=hv=3.98×10-19(J) （第一空）,依題意，在金屬表面上施加U=3V的反向電壓時:,eU=EK=hv

9、-A,例4 ( 14屆12題) 某光電子陰極對于λ1=491nm的單色光，發(fā)射光電子電壓為0.71V，當改取波長為λ2的單色光時，其遇止電壓升為1.43V，則λ2=______.（電子帶電絕對值為e=1.6×10-19C，普朗克常量為h=6.63×10-34J·s）,解：由光電效應方程：,,例5 （5屆11題）射至光陰極上的光，其波長從4000Å變至3000Å，則發(fā)射出的光電子的遏制

10、電壓變化____V,解：1.04V,,,遏制電壓：,,,,,例6 已知:,解：,,彈碰前系統(tǒng)能量：,彈碰后系統(tǒng)能量：,能量守恒:,計算: 散射光子的波長和反沖電子的動能.,例7 (13屆8題)能量62keV的X射線與物質(zhì)中的電子發(fā)生康普頓散射，則在與入射線成180°角的方向上所散射的X射線的波長是____Å，電子所獲得的反沖動能是______eV。（已知電子的康普頓波長λc=h/mec=0.024Å),解

11、：0.248Å，12×103eV,,X射線電子能量 E=62keV=62/510mec2,其中電子能量 mec2=0.51MeV=510keV,∴光子波長:,由康普頓散射公式,光子散射前:,散射后:,電子獲得的反沖動能即光子散射前后損失的能量:,解： 光子的散射角 時電子獲得的能量最大，電子的反沖速度沿入射光子的運動方向.設 為入射光的頻率，為散射光的頻率， 為反沖電子的動量

12、。,1,2,1,2,例8 （10屆11題）在一次康普頓散射中，入射光子傳遞給電子的最大能量為 ，電子的靜止質(zhì)量為 ，則入射光子的能量為____ 。,由動量守恒有:,由 、 式得,,由能量守恒有：,又由相對論的能量動量關(guān)系有:故,,例9 已知氫原子受到能量為E = 12.2eV 的電子轟擊求氫原子可能輻射的譜線波長。,解： 氫原子吸收 E ,從基態(tài)E1可能躍遷至某激發(fā)態(tài) En,,,,,可見,紫外,

13、紫外,氫原子光譜例題,例10 （20屆11題）據(jù)玻爾的氫原子理論，氫原子中電子繞核作圓周運動的最小半徑為5.29×10-11m，此時電子運動速度大小為_______,若將此時電子沿某直徑方向的位置不確定量取為△x≈1.0×10-10m,則據(jù)不確定關(guān)系，電子沿該方向的速度不確定量已達△vx≈___.可見玻爾理論是一種“粗糙”的理論。（電子質(zhì)量m=9.11×10-31kg),解：電子受的庫侖力為

14、 ，電子作圓周運動的加速度為v2/r，由牛頓第二定律知,,（第一空）,不確定關(guān)系為,（第二空）,解： e2/8??0R1,簡要說明：對基態(tài)氫原子,（1）,（2）,由（1)(2)： E1=－e2/8??0R1,例11 (11屆10題) 用氫原子玻爾半徑 、電子電量絕對值e及真空介電常數(shù) 表述氫原子的結(jié)合能△E=______.,,例12 (9屆7題)按玻爾理論，當電子轟擊基態(tài)氫原子時，如果僅產(chǎn)生

15、一條光譜線，則該電子的能量范圍是,解：,氫原子能級公式：,,氫原子基態(tài)能量,,第一激發(fā)態(tài)能量,第二激發(fā)態(tài)能量,,,,例13 (5屆二、6題)（15分）氫原子由n=3的能級躍遷至n=2的能級時發(fā)射出Ha線，一放電管發(fā)出的光譜中有一譜線與Ha線相差約為3Å，已知此放電管中裝有H和He兩種氣體，如果該譜線來自放電管中的He＋離子，試問He＋離子在哪兩個能級間躍遷時發(fā)射的,解：由類氫原子能級公式可得He＋離子的能級公式,,λH＋與

16、λHa略有差別來源于RH與RHe的不同。比較①②兩式有,故λHe＋譜線是He＋離子在n2=6與n1=4能級間躍遷時發(fā)射的。,例14 （ 4屆二、10題）氫原子的電離能為13.6eV,賴曼線系前兩條譜線的頻率為______Hz，______Hz,2.46×1015Hz； 2.92×1015Hz簡要說明：氫原子賴曼系光譜為,其中：,,德布羅意波例題,例15 波長為λ= 1Å的X光光子的質(zhì)量為______

17、kg. (h=6.63×10-34J·s),解：,例16 某金屬產(chǎn)生光電效應的紅限為v0，當用頻率為v(v >v0)的單色光照射該金屬時，從金屬中逸出的光電子(質(zhì)量為m)的德布羅意波長為________.,解：,例17 靜止質(zhì)量為me的電子經(jīng)電勢差為U12的靜電場加速后，若不考慮相對論效應，電子的德布羅意波長λ= _______.,解：,例18 λ= 5000Å的光沿x軸正向傳播，若光的波長的不確定

18、量Δλ = 10-3Å ，則由不確定關(guān)系Δpx· Δx ≥h可得光子的x坐標的不確定量至少為______ .,解：,例19 ( 5屆12題)一光子的波長與一電子的德布羅意波長皆為5.0Å，此光子的動量p0與電子動量pc之比p0/pc=_____,光子的動量E0與電子的動能Ee之比E0/Ee=_____,解：1 ， 4.1×102簡要說明：由物質(zhì)波公式：,光子動能即為總量E0=p0c；電子動能的相

19、對論公式為,,比較pec與mec2有說明Ee很小，故,例20 估算氫原子可能具有的最低能量,電子束縛在半徑為r 的球內(nèi)，所以,按不確定關(guān)系,當不計核的運動，氫原子的能量就是電子的能量：,代入上式得：,不確定關(guān)系例題,,基態(tài)能應滿足：,由此得出基態(tài)氫原子半徑：,基態(tài)氫原子的能量：,與波爾理論結(jié)果一致。,本例還說明：氫原子有零點能。,,譜線寬度：,與實驗測量結(jié)果吻合！,原子基態(tài)壽命無窮長，基態(tài)有確定的能量值。,例21 設氫原子在第一激

20、發(fā)態(tài)的壽命為10-8 s，由不確定關(guān)系求能級寬度和原子譜線自然寬度。,解:,例21 （4屆二、11題） 電子在阱寬為1Å的一堆無限深勢阱中運動，用測不準原理估算其最小能量為______J,簡要說明：用測不準原理做定性估計時，常取Δx·Δp≈h或Δx·Δp≈h此處取Δx=1Å=10-10m,,解:令以歸一化波函數(shù)為,,將其歸一化,例22,,,波函數(shù)例題,例23某粒子的波函數(shù)為,(1)歸一化波函數(shù)

21、,(2)概率密度,(3)概率密度最大的位置,,解：,積分得：,得到歸一化波函數(shù) ：,概率密度,得,令,求極大值的 x 坐標,解得,處,最大,一維無限深勢阱例題,(2010) 粒子在無限深方勢阱 [-a/2，a/2] 內(nèi)作一維運動的波函數(shù)為 （n=1,2,3,……）。求：(1) 歸一化常數(shù)A；(2) 粒子的零點能；(3) 第一激發(fā)態(tài)，粒子在 [a/8，a/2] 間出現(xiàn)的幾率； (4) 粒子運動的

22、坐標不確定度 （ 為位移平均, 為位移平方的平均值），由不確定關(guān)系，估算在基態(tài)時相應的動量不確定度不小于多少？,,,,,例23,解：,（1）由歸一化條件：,,1分,得,,,1分,所以，歸一化的波函數(shù)為：,,（2）零點能即基態(tài)能，即:,可由,,1分,即,,,1分,（3）第二激發(fā)態(tài),,波函數(shù)為,,1分,,,1分,1分,（4）基態(tài)下：,,1分,,,由不確定關(guān)系：,,,,不小于,,

23、1分,1分,例24 設粒子處在[0，a]范圍的一維無限深方勢阱內(nèi)運動的波函數(shù)為,求(1)粒子能量的可能測量值以及相應的概率；,(2)能量的平均值。,解：在一維無限深方勢阱中，粒子的能量本征態(tài)及本征值為：,0≤x≤a,n=1,2,3...,把 展開為,的形式，,利用三角函數(shù)公式有：,這里只存在n1=1， n3=3的本征態(tài),故能量可能值：,相應的概率：,能量的平均值：,例24 （2屆8題）8.（2分）盧瑟福α粒子散射實

24、驗證實了____，斯特恩-蓋拉赫實驗證實了_____，康普頓效應證實了_____,戴維遜—革末證實了______.(A)光的粒子性，(B)玻爾的能級量子化假設，(C)X射線的存在，(D)電子的波動性，(E)原子的有核模型，(F)原子磁矩取向量子化。,8.（2分）E, F, A, D.簡要說明：1911年盧瑟福根據(jù)α粒子被金箔散射的實驗提出了原子的有核模型。1921年由斯特恩和蓋拉赫的實驗首次證實了原子在磁場中取向量

25、子化。1920年康普頓效應發(fā)現(xiàn)，證實了光的粒子性。1927年戴維遜-革末以電子射向晶體鎳表面的實驗，證實了電子的波動性。,在金屬中，自由電子為整個晶體所共有，形成自由電子“氣”.由于電子要遵從泡利不相容原理，不能都處于低能級上.在極低溫度下( )，能帶中自由電子從最低能級已知填充到某個能級，它稱為該金屬的費米能級 .一般金屬的 是幾個eV.常溫下自由電子的平均能量約為 ,它遠大于Kt(