概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率歷史介紹

1、1一、概率定義的發(fā)展與分析一、概率定義的發(fā)展與分析1.古典定義的歷史脈絡(luò)古典定義中的“古典”表明了這種定義起源的古老，它源于賭博博弈的形式多種多樣，但是它們的前提是“公平”，即“機(jī)會均等”，而這正是古典定義適用的重要條件：同等可能16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家和賭博家卡爾丹（1501—1576）所說的“誠實的骰子”，即道明了這一點在卡爾丹以后約三百年的時間里，帕斯卡、費(fèi)馬、伯努利等數(shù)學(xué)家都在古典概率的計算、公式推導(dǎo)和擴(kuò)大應(yīng)用等方面做了重要的工作直

2、到1812年，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理論》中給出概率的古典定義：事件A的概率等于一次試驗中有利于事件A的可能結(jié)果數(shù)與該事件中所有可能結(jié)果數(shù)之比2.古典定義的簡單分析古典定義通過簡單明了的方式定義了事件的概率，并給出了簡單可行的算法它適用的條件有二：（1）可能結(jié)果總數(shù)有限；（2）每個結(jié)果的出現(xiàn)有同等可能其中第（2）條尤其重要，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提如何在更多和更復(fù)雜的情況下，體現(xiàn)出“同等可能”？伯努利家

3、族成員做了這項工作，他們將排列組合的理論運(yùn)用到了古典概率中用排列（組合）體現(xiàn)同等可能的要求，就是將總數(shù)為P(nr)的各種排列（或總數(shù)為C(nr)的各種組合）看成是等可能的，通常用“隨意取”來表達(dá)這個意思即使如此，古典定義的方法能應(yīng)用的范圍仍然很窄，而且還有數(shù)學(xué)上的問題“應(yīng)用性的狹窄性”促使雅各布伯努利（1654—1705）“尋找另一條途徑找到所期待的結(jié)果”，這就是他在研究古典概率時的另一重要成果：伯努利大數(shù)定律這條定律告訴我們“頻率具有

4、穩(wěn)定性”，所以可以“用頻率估計概率”，而這也為以后概率的統(tǒng)計定義奠定了思想基礎(chǔ)“古典定義數(shù)學(xué)上的問題”在貝特朗（1822—1900）悖論中表現(xiàn)得淋漓盡致，它揭示出定義存在的矛盾與含糊之處，這導(dǎo)致了拉普拉斯的古典定義受到猛烈批評3.統(tǒng)計定義的歷史脈絡(luò)概率的古典定義雖然簡單直觀，但是適用范圍有限正如雅各布?伯努利所說：“……這種方法僅適用于極罕見的現(xiàn)象”因此，他通過觀察來確定結(jié)果數(shù)目的比例，并且認(rèn)為“即使是沒受過教育和訓(xùn)練的人，憑天生的直覺

5、，也會清楚地知道，可利用的有關(guān)觀測的次數(shù)越多，發(fā)生錯誤的風(fēng)險就越小”雖然原理簡單，但是其科學(xué)證明并不簡單，在古典概型下，伯努利證實了這一點，即“當(dāng)試驗次數(shù)愈來愈大時，頻率接近概率”事實上，這不僅對于古典概型適用，人們確信“從現(xiàn)實中觀察的頻率穩(wěn)定性”的事實是一個普遍規(guī)律1919年，德國數(shù)學(xué)家馮?米塞斯（1883—1953）在《概率論基礎(chǔ)研究》一書中提出了概率的統(tǒng)計定義：在做大量重復(fù)試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，某個事件出現(xiàn)的頻率總是在一個固

6、定數(shù)值的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，把這個固定的數(shù)值定義為這一事件的概率3在前面的分析中，我們說“等可能”是古典概率非常重要的一個特征，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提正是因為“等可能”，所以才會有了“比率”因此，“等可能性”和“比率”是古典定義教學(xué)中的兩個落腳點“等可能”是無法確切證明的，往往是一種感覺，但是這種感覺是有其實際背景的，例如，擲一枚硬幣，“呈正面”“呈反面”是等可能的，因為它質(zhì)地均勻；而擲一枚圖釘，“釘帽著地”“頂針著地”不

7、是等可能的，因為圖釘本身給我們的感覺就是帽重釘輕因此，“等可能”并不要多么嚴(yán)密的物理上或化學(xué)上的分析，只需要通過例子感知一下“等可能”和“不等可能”即可，以便讓學(xué)生明白古典定義的適用對象須具備的條件2.統(tǒng)計定義的教學(xué)定位從直觀上講，統(tǒng)計定義是非常容易接受的，但是它的內(nèi)涵是非常深刻的，涉及到大數(shù)定律在初中階段，我們不可能讓學(xué)生接觸其嚴(yán)格的形式和證明因此，統(tǒng)計定義定位在其合理性和必要性是比較恰當(dāng)?shù)娜绾巫寣W(xué)生體會其合理性和必要性？羅老師的課堂

8、教學(xué)比較好地實現(xiàn)了這兩點從教學(xué)順序來看，羅老師將“擲硬幣”作為歸納統(tǒng)計定義的例子，“擲硬幣”可以用古典定義求概率，所以概率值是明確的，而通過試驗的方法計算得到的頻率就可以和這個明確的概率值相比較，如此更容易讓學(xué)生體會到“頻率具有穩(wěn)定性”這一事實，從而感受到“用頻率估計概率”的合理性；羅老師將“擲圖釘”作為統(tǒng)計定義的應(yīng)用，“擲圖釘”不能用古典定義求概率，由此能讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)統(tǒng)計定義計算事件概率的必要性從教學(xué)手段來看，羅老師主要采用了“學(xué)

9、生試驗”的方法，學(xué)生的親自試驗在這節(jié)課所起的作用是無可代替的：“親自試驗”獲得的結(jié)果能夠給學(xué)生以真實感和確切感；“親自試驗”能夠讓學(xué)生感受到頻率的隨機(jī)性和穩(wěn)定性等特點所以，像概率與統(tǒng)計的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該有更多的主動權(quán)和試驗權(quán)，在動手和動腦中感受概率與統(tǒng)計的思想和方法3.概率與統(tǒng)計教學(xué)的背后：專業(yè)素養(yǎng)的提升在課題研討時，教師們表現(xiàn)出這樣一些困惑：隨著試驗次數(shù)的增加，頻率就越來越穩(wěn)定？頻率估計概率，一定要大量試驗？實驗次數(shù)多少合適？事實上，這

10、些問題涉及的就是概率與統(tǒng)計的專業(yè)素養(yǎng)對于大多數(shù)教師而言，概率與統(tǒng)計相對而言比較陌生，這是很自然的，因為在教師自身接受的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)中，概率與統(tǒng)計就是一個弱項但是，既然要向?qū)W生教授概率與統(tǒng)計，那么還是需要有“一桶水”的就像上面的問題，翻閱任何一本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，都可以給我們知識上的答案，而翻閱一下相關(guān)的科普讀物或史料，就可以給我們思想方法上的答案舉個例子：伯努利大數(shù)定律：設(shè)m是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的