第九講 從算術(shù)到代數(shù)

1、第九講第九講從算術(shù)到代數(shù)（一）從算術(shù)到代數(shù)（一）算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門不同的分科，但它們之間關(guān)系密切.代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.在小學(xué)算術(shù)課本里同學(xué)們由淺入深地學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運算，并學(xué)會了用這些四則運算去解一些不太復(fù)雜的四則應(yīng)用題.歸納一下，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時主要用到了以下三種關(guān)系：①部分?jǐn)?shù)與總數(shù)的關(guān)系；②兩數(shù)差的關(guān)系；③一倍數(shù)（或一份數(shù)）、倍數(shù)和幾倍數(shù)的關(guān)系.第1、第2種關(guān)系用“

2、加”、“減”法完成，第3種關(guān)系則用乘、除法完成.在解四則運算題時用到了對于數(shù)的“加法”、“乘法”都普遍成立的運算法則：交換律、結(jié)合律、分配律.設(shè)a、b、c表示任意三個數(shù)，下列等式恒成立：交換律：a＋b=ba，ab=ba結(jié)合律：（ab）c=a（b＋c）（ab）c=a（bc）分配律：a（bc）＝abac.另外，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時常按應(yīng)用題的性質(zhì)分為許多類型.如：和倍問題、差倍問題、行程問題、百分?jǐn)?shù)問題、比例問題、….對每類問題先歸納出解

3、決這類問題的方法、公式，并找出理由加以解釋，再做這類題時就“套”這種公式.所以用算術(shù)方法解應(yīng)用題時，對不同類型的題用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算術(shù)方法解應(yīng)用題是不帶普遍性的.代數(shù)方法的進步首先在于找出了一個統(tǒng)一的方法，即用列“方程”來解很多不同類型的應(yīng)用題.“方程”是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一.用方程來解應(yīng)用題時，首先是用一些簡單的符號，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母來表示問題中待求的未知數(shù)，然后把這些未知數(shù)和已知數(shù)平等

4、地看待，并把題目中的數(shù)量關(guān)系直接（平鋪直敘）“翻譯”為算式表示出來.這就是所謂依題意列方程.接著是通過代數(shù)方程去確定其中所含未知數(shù)應(yīng)該等于什么樣的值，即“解方程”.而解方程的原理就是對方程中的數(shù)，包括已知數(shù)和未知數(shù)，運用在“算術(shù)”中學(xué)過的“數(shù)的運算法則”把未知數(shù)求出來.因為這些法則是對任何數(shù)都成立的，當(dāng)然對那些暫時還不知它的值的“未知數(shù)”也應(yīng)當(dāng)成立.只要適當(dāng)?shù)剡\用這些法則，一解：①算術(shù)解法：假如設(shè)有損壞，2000箱玻璃全運到，則應(yīng)得運貨

5、款：20005=10000（元）.和實際所得運貨款相差：100009190=810（元）.現(xiàn)在讓我們用一箱好的換一箱損壞的玻璃，總箱數(shù)2000不變，但每換一箱所得運貨款減少：40＋5=45（元）那么換多少箱，貨款正好減少多出來的810元呢？做除法：81045＝18（箱）.答：共換壞了18箱.②代數(shù)解法：設(shè)損壞了x箱，則沒損壞的共2000x箱.依題意列方程5（2000x）40x=919045x=10000919045x=810x=18.答