七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座第二講 跨越—從算術(shù)到代數(shù)

1、第二講第二講跨越跨越——從算術(shù)到代數(shù)從算術(shù)到代數(shù)“算術(shù)”可以理解為“計(jì)算的方法”，而“代數(shù)”可以理解為“以符號(hào)替代數(shù)字”，即“數(shù)學(xué)符號(hào)化”著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞曾說(shuō)：“代數(shù)是一種不用詞句而只用符號(hào)所構(gòu)成的語(yǔ)言”用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一件大事，是由算術(shù)跨越到代數(shù)的橋梁，是人類發(fā)展史上的一個(gè)飛躍，也是代數(shù)與算術(shù)的最顯著的區(qū)別字母表示數(shù)使得數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言，能更普遍地說(shuō)明數(shù)量關(guān)系，在列代數(shù)式、求代數(shù)式的值、形成公式等方面有廣泛的應(yīng)用例題

2、【例1】觀察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，……這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示出來(lái)：(河南省中考題)思路點(diǎn)撥在觀察給定的等式基礎(chǔ)上，尋找數(shù)字特點(diǎn)，等式的共同特征，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律注：從個(gè)別事物中發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律這種研究問(wèn)題的方法叫“歸納法”，是由特殊到一般的思維過(guò)程，是發(fā)明創(chuàng)造的基礎(chǔ)。【例2】某商品2002年比2001年漲價(jià)5％，2003年又比2002年漲價(jià)10％，2

3、004年比2003年降價(jià)12％，則2004年比2001年()九漲價(jià)3％B漲價(jià)164％C漲價(jià)12％D降價(jià)12％(“TRUIY信利杯”競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥設(shè)此商品2001年的價(jià)格為元，把相應(yīng)年份的價(jià)格用的代數(shù)式表示，由計(jì)算作出判aa斷例3】計(jì)算)200113121)(20021211()2001131211)(200213121(??????????????????思路點(diǎn)撥直接計(jì)算復(fù)雜而繁難，注意括號(hào)內(nèi)數(shù)式的聯(lián)系，引入字母，將復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算轉(zhuǎn)化

4、為簡(jiǎn)單的式的計(jì)算【例4】有—張紙，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此進(jìn)行下去，試問(wèn)：(1)經(jīng)5次分割后，共得到多少?gòu)埣埰?2)經(jīng)次分割后，共得到多少?gòu)埣埰琻(3)能否經(jīng)若干次分割后共得到2003張紙片為什么(江蘇省競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥從簡(jiǎn)單情形人手，發(fā)現(xiàn)紙片數(shù)的特點(diǎn)是解本例的關(guān)鍵【例5】在右圖中有9個(gè)方格，要求每個(gè)方格填入不同的的數(shù)，使得每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和都相

5、等，問(wèn)：右圖上角的數(shù)是多少？思路點(diǎn)撥雖然要求的只是右上角的數(shù)，但是題目的條件還與其他的數(shù)有關(guān)，因此，需恰當(dāng)?shù)匾M(jìn)不同的字母表示數(shù)，以便充分運(yùn)用已知條件注：①用字母表示數(shù)，有利于運(yùn)用代數(shù)式揭示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，便于找到數(shù)量的相依關(guān)系或相等不等？1913(2)計(jì)算：①135791l13151719；②1113151719212325(3)已知135…(2n一1)=225，求整數(shù)n的值10從小明的家到學(xué)校，是一段長(zhǎng)度為的上坡路接著一段長(zhǎng)度為的

6、下坡路(兩段路的長(zhǎng)度不等但坡度相ab同)已知小明騎自行車走上坡路時(shí)的速度比走平路時(shí)的速度慢20％，走下坡路時(shí)的速度比走平路時(shí)的速度快20％，又知小明上學(xué)途中花10分鐘，放學(xué)途中花12分鐘(1)判斷與的大??；ab(2)求與的的比值ab(江蘇省競(jìng)賽題)11.觀察下列各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓點(diǎn)，每個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是S按此規(guī)律推斷出S與n的關(guān)系式是(2001年廣西中考題)12如圖，將面積為的小正方形與面積為的大正方形放在一起(

7、0)，用表示三角形ABC2a2bbaba、的面積為(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)13已知17個(gè)連續(xù)整數(shù)的和是306，那么，緊接在這17個(gè)數(shù)后面的那17個(gè)整數(shù)的和為14用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：(1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚塊；(2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚塊(2003年南昌市中考題)15下列四個(gè)數(shù)中可以寫(xiě)成100個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的是()A162738t950B2345678910C3579111300D46

8、92581470(江蘇省競(jìng)賽題)16給出兩列數(shù)：l，3，5，，9，…，2001和1，6，1l，16，21，…，2001，同時(shí)出現(xiàn)在兩列數(shù)中的數(shù)的個(gè)數(shù)為()A199B200C201D202(重慶市競(jìng)賽題)17—種商品每件進(jìn)價(jià)為a元，按進(jìn)價(jià)增加25％定出售價(jià)，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，按售價(jià)的九折出售，每件還能盈利()A0.125aB0.15aC0.25aD1.25a(山東泰安市中考題)18如果用名同學(xué)在小時(shí)內(nèi)搬運(yùn)塊磚，那么名同學(xué)以同樣的速度搬運(yùn)塊