小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（六）

1、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（六）課程教材研究所王永春六、幾何變換思想變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)帶有普遍性的概念，代數(shù)中有數(shù)與式的恒等變換、幾何中有圖形的變換。在初等幾何中，圖形變換是一種重要的思想方法，它以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)處理孤立靜止的幾何問(wèn)題，往往在解決問(wèn)題的過(guò)程中能夠收到意想不到的效果。1.初等幾何變換的概念。初等幾何變換是關(guān)于平面圖形在同一個(gè)平面內(nèi)的變換，在中小學(xué)教材中出現(xiàn)的相似變換、合同變換等都屬于初等幾何變換。合同變換實(shí)際上就是相似比為1的

2、相似變換，是特殊的相似變換。合同變換也叫保距變換，分為平移、旋轉(zhuǎn)和反射(軸對(duì)稱)變換等。(1)平移變換。將平面上任一點(diǎn)P變換到P′，使得：(1)射線PP′的方向一定；(2)線段PP′的長(zhǎng)度一定，則稱這種變換為平移變換。也就是說(shuō)一個(gè)圖形與經(jīng)過(guò)平移變換后的圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相互平行且相等。平移變換有以下一些性質(zhì)：①把圖形變?yōu)榕c之全等的圖形，因而面積和周長(zhǎng)不變。②在平移變換下兩點(diǎn)之間的方向保持不變。如任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

3、Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ∥Ａ′Ｂ′。③在平移變換下兩點(diǎn)之間的距離保持不變。如任意兩點(diǎn)A和B，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Ａ′和Ｂ′，則有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。在解初等幾何問(wèn)題時(shí)，常利用平移變換使分散的條件集中在一起，具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡(jiǎn)單的基本圖形。(2)旋轉(zhuǎn)變換。在同一平面內(nèi)，使原點(diǎn)O變換到它自身，其他任何點(diǎn)X變換到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)；則稱這樣的變換為旋轉(zhuǎn)變換。O稱為旋轉(zhuǎn)中心，定角θ為旋轉(zhuǎn)角。當(dāng)θ0時(shí)，

4、為逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；當(dāng)θ0時(shí)，為順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。當(dāng)θ等于平角時(shí)，旋轉(zhuǎn)變換就是中心對(duì)稱。通俗地說(shuō)就是一個(gè)圖形圍繞一個(gè)定點(diǎn)在不變形的情況下轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的運(yùn)動(dòng)，就是旋轉(zhuǎn)。在旋①兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)的比等于相似比。②兩個(gè)圖形的面積的比等于相似比的平方。③兩條直線的夾角保持不變。生活中的許多現(xiàn)象都滲透著相似變換的思想，如物體和圖形在光線下的投影、照片和圖片的放大或縮小、零件的圖紙等等，因而利用相似變換可以解決生活中的一些幾何問(wèn)題。2.幾何變換思想的重要意

5、義。課程改革以來(lái)，幾何的教學(xué)已經(jīng)由傳統(tǒng)的注重圖形的性質(zhì)，周長(zhǎng)、面積和體積等的計(jì)算、演繹推理能力轉(zhuǎn)變?yōu)榕囵B(yǎng)空間觀念、計(jì)算能力、推理能力及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Σ⒅氐娜娴?、和諧的發(fā)展。其中推理不僅僅重視演繹推理，還特別強(qiáng)調(diào)合情推理。也就是說(shuō)，新課程的理念在幾何的育人功能方面注重空間觀念、創(chuàng)新精神、探索能力、推理能力、計(jì)算能力、幾何模型等全面、和諧的發(fā)展。而圖形變換作為幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容和思想方法之一，在幾何的育人功能方面發(fā)揮著非常重要的作用

6、。圖形變換來(lái)源于生活中物體的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱的這些運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，因而了解圖形的變換，有利于我們認(rèn)識(shí)生活中豐富多彩的生活空間和形成初步的空間觀念。利用圖形變換設(shè)計(jì)美麗的圖案，有利于感受、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造生活的美，有利于認(rèn)識(shí)圖形之間的關(guān)系和發(fā)展空間觀念。利用圖形變換把靜止的幾何問(wèn)題通過(guò)運(yùn)動(dòng)變換，找到更加簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題的方法。3.幾何變換思想的具體應(yīng)用。圖形變換作為空間與圖形領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，在圖形的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)、面積公式的推導(dǎo)、面積的計(jì)算、圖形的設(shè)