八年級數(shù)學(xué)競賽講座第三十二講 幾何不等式

1、第三十二講第三十二講幾何不等式幾何不等式1三角形的不等關(guān)系是研究許多幾何不等問題的基礎(chǔ)，這種不等關(guān)系分為兩類：一類是在同一三角形中進(jìn)行比較；一類是在兩個三角形中比較這里主要方法是把要比較的邊或角如何轉(zhuǎn)化到同一個三角形或適當(dāng)安排在兩個三角形之中2在同一個三角形中有關(guān)邊或角不等關(guān)系的證明，常有以下定理：(1)三角形任何兩邊之和大于第三邊(2)三角形任何兩邊之差小于第三邊(3)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角(4)同一三角形中大邊

2、對大角(5)同一三角形中大角對大邊例題求解例題求解【例1】如圖192，在等腰梯形ABCD中，A∥BC，AB=CD，E、F分別在AB、CD上且AE=CF求證：)(21BCADEF??思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥如圖所示，延長AD至D1使DD1=BC，延長BC至Cl，使CCl=AD，連結(jié)ClDl，則ABC1Dl是平行四邊形，ABCD和CDDlCl是兩個全等的梯形，在D1C1上取一點(diǎn)G使D1G=AE，連結(jié)FG和EG由AE=CF，則EF=FG，又EG=AD

3、1=ADBC，∴2EF=EFFG≥EG=ADBC即)(21BCADEF??注當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F落在EG上時，即E為AB的中點(diǎn)時，結(jié)論中的等號成立證明這類不等式的一個常用方法是能過添加輔助線，把要比較大小的線段或角集中到一個三角形中，或者適當(dāng)?shù)匕才旁趦蓚€三角形中，以便應(yīng)用上述基本不等式關(guān)系【例2】如圖193，△ABC中，ABAC，BE、CF是中線，求證：BECF思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥將BE、CE分別平移到FG、FD，則四邊形EFDC為平行四邊形，作F

4、H⊥BC于H∴ABAC，且F，E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴FBCE∴FBFD，由勾股定理得：HBHD，即FBFD又∵GH=GBBH=EFBH=DCBHCDDH=CH，即GHCH，∴GFCF即BECF【例3】如圖194，在等腰△ABC中，AB=AC，D為形內(nèi)一點(diǎn)，∠ADC∠ADB，求證：DBDC思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥把△ABD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)△BAC至△ACD′，連接DD′，則AD=AD【例6】如圖1912，在△ABC中，P、Q、R將其周

5、長三等分，且P、Q在AB上，求證：92???ABCPQRSS思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥易想到作△ABC和△PQR的高，將三角形的面積比化成線段的乘積比，并利用平行線截線段成比例定理，把其中兩條高的比轉(zhuǎn)換成三角形邊上線段的比如圖1912，作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，則ACABARPQCLABRHPQSSABCPQR????????不妨設(shè)△ABC的周長為1，則PQ=，AB－31316161?又ACAD，故，ahb?同理可證，bhc?cha?∴，