關(guān)于數(shù)學(xué)中求余數(shù)問題的一個簡單方法

1、個人建議：在您看這份文檔的同時，準備一支筆，一張草稿紙。如果看到例題，跟我的步驟，一步一步地同時寫下來，這樣比光看屏幕，要理解得更快！我在自己的討論稿文檔里，求余的時候，都會用到mod這個運算符。mod：模。意思就是求余數(shù)。比如說：5mod3=2，100mod11=1讀作：五模三余二，一百模十一余一這是標準的公式化寫法，大家可能不太熟悉，但是知道意思了，其實也很簡單。引入Mod，主要是可以用數(shù)學(xué)公式來寫，而且可以把求余數(shù)的問題化簡成為普

2、通的四則運算的問題，也比較容易表達。在講如何求余之前，先來普及一下余數(shù)的一些性質(zhì)。首先就是余數(shù)的加減法：比如說100除以7余2，36除以7余1。那么10036除以7余幾呢？或者10036除以7余幾呢？很顯然，只要用100除以7的余數(shù)2與36除以7的余數(shù)1進行加減就可以得到答案。通過這個例子可以很明顯的看出來，余數(shù)之間是可以加減的?？偨Y(jié)寫成書面的公式的話，就是：(M＋N)modq=(（Mmodq）（Nmodq）)modq然后我們再看余數(shù)的

3、乘法：我們繼續(xù)來看上面這個例子，如果要求10036除以7的余數(shù)是多少，該怎么求呢？我們不妨來這樣做：100=982=7142，36=351=751；這時10036=（7142）（751）=71475275714121很明顯，10036除以7的余數(shù)就等于21=2于是我們可以得出這樣的一個結(jié)論：求MN除以q的余數(shù)，就等于M除以q的余數(shù)乘以N除以q的余數(shù)。類似的，如果是求N^m除以q的余數(shù)呢？只要我們將N^m=NNN...N，也就是說分別地用

4、每個N除以q的余數(shù)相乘，一共m個，得出的結(jié)果再對q求余數(shù)，即可求出結(jié)果。舉例來說：求11^4除以9的余數(shù)。化成公式即是：11^4mod9=11^4mod9=(92)^4mod9=2^4mod9=16mod9=7于是我們可以總結(jié)出這樣的公式：MNmodq=（Mmodq）（Nmodq）modq（M^nmodq=（Mmodq）^nmodq）那么，我們知道了這些性質(zhì)之后對解題又有什么幫助呢？Asweallknow，如果一個數(shù)乘以1，還是等于原數(shù)

5、；而1的任意次方，還是等于1。所以在解答這一類的問題的時候，只要我們盡量把計算中的余數(shù)湊成與1相關(guān)的乘式，結(jié)果顯然會好算很多的。（或者1，2之類的比較容易進行計算的數(shù)字都可以，因題而異。）舉例說明：求3^11除以8的余數(shù)。題目即是：3^11mod8=3^11mod8=3^103^1（mod8）=(3^2)^5(3^1)（mod8）=9^53（mod8）=(81)^53（mod8）=1^53（mod8）=3發(fā)現(xiàn)沒有，甚至沒有去計算什么尾數(shù)

6、的規(guī)律，答案就算出來了，而且只用了加減乘除。那么再來看一道題目：求（2^100）（3^200）除以7的余數(shù)先化成計算公式：(2^100)(3^200)mod7=[2^(3331)][3^(3662)]mod7=[(2^3)^332][(3^3)^663^2]mod7=(8^332)(27^669)mod7=[(71)^332][(281)^669]mod7=(1^332)[(1)^669]mod7=29mod7=4注意：如果余數(shù)有負號，