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1、12011年中科院數(shù)學分析考研試題一、30分1、計算11lim2xxxx?????????解:??????11000ln2lim2limexpln2limexptttttttttttt????????????????????????002112ln2limexplimexp21tttttet????????????????????2、計算10limln(1)nnxdx????解:1100ln(1)ln(1)ln(1)nnnxdxxdxx
2、dx??????????10ln(1)ln(1)nnxdxxdx????????由于,,根據(jù)00ln(1)2nxdxMdxM??????????1ln(1)(1)ln22nxdx?????????的任意性,可得:;10ln(1)nxdx????故:10limln(1)0nnxdx?????3、證明極限存在,并求值.1202lim1xxxexxe??????????????解:1112222000223limlim1lim1111xxxx
3、xxxxxxexeeexeee????????????????????????????????????????????????1112222000221limlim1lim1111xxxxxxxxxxexeeexeee?????????????????????????????????????????????????故111222000222limlimlim1111xxxxxxxxxexexexxxxeee???????????????
4、????????????????????????????????二、求數(shù)列中最大的一項.3123nn?3從而有l(wèi)im()0xfx???五、過拋物線上的一點做切線,確定使得該切線與另一拋物線2yx?2()aaa所圍成的圖形面積最小,并求出最小面積的值.241yxx????解:在做切線的方程為2()aa22yaxa??從而可知道交點為的解22(24)10xaxa?????222243222243()(24)1aaaaaaSaxaxadx??
5、????????????????2()8(1)243Saaaa?????當時,S有極大值.所以1a?4(1)3S?六、計算曲線積分????2212Cxyds????????A其中表示曲面與的交線.C2221xyz???1xyz???解:由于對稱性,,它的交線是一個圓心在原點,半徑為1的圓,22xyxyxy????????2224533555210CCCxyxydsxyxydsds??????????????????AAA原式七、設(shè)函數(shù)列
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