2010年中科院數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)試題

1、sobenlee@1中國(guó)科學(xué)院研究生院2010年數(shù)學(xué)分析試題1.(20分)計(jì)算：(1)limx→0∫sin2x0ln(1t)dt√1x4?1；(2)∫∫|x||y|?1|xy|dxdy2.(20分)(1)令f(x)=???x2sin1x，x?=0；0，x=0求f′(0)，并證明f′(x)在x=0處不連續(xù)(2)若λ=n∑k=11k，證明eλn13.(20分)若f(x)在[01]上連續(xù)，在(01)上二次可微，并且f(0)=f(14)=0，以

2、及∫114f(y)dy=34f(1)證明，存在ξ∈(01)，使得f′′(ξ)=04.(15分)求級(jí)數(shù)∞∑n=1n(n1)!的和5.(15分)證明：2n3√n0)所圍成的區(qū)域7.(15分)應(yīng)用Green公式計(jì)算積分I=?Lex(xsiny?ycosy)dxex(xcosyysiny)dyx2y2，其中L是包圍原點(diǎn)的簡(jiǎn)單光滑閉曲線，逆時(shí)針方向8.(10分)設(shè)f(x)定義在(?∞∞)上，且在x=0連續(xù)，并且對(duì)所有xy∈(?∞∞)，有f(xy)

3、=f(x)f(y)證明，f(x)在(?∞∞)上連續(xù)，且f(x)=f(1)x9.(10分)證明∫10dxxx=∞∑n=11nn10.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)在[01]上連續(xù)且f(x)0，討論函數(shù)g(y)=∫10yf(x)x2y2dx在(?∞∞)上的連續(xù)性Wirmussenwissen.Wirwerdenwissen.2sobenlee@中國(guó)科學(xué)院研究生院2010年高等代數(shù)試題1.設(shè)AB分別是nm和mn矩陣，Ik是k階單位矩陣(1)(10分

4、)證明det(In?AB)=det(Im?BA)；(2)(10分)計(jì)算行列式Dn=det??????1a1x1a1x2a1xna2x11a2x2a2xn............anx1anx21anxn??????2.(20分)已知3階正交矩陣A的行列式為1證明，A的特征多項(xiàng)式一定為f(λ)=λ3?aλ2aλ?1，其中，a是實(shí)數(shù)，且?1?a?33.(1)(12分)設(shè)AB是n階方陣，A可逆，B冪零，AB=BA證明，AB可逆；(2)(8分)

5、試舉例說明上述問題中AB可交換的條件不能去掉4.(20分)證明，任意n階實(shí)方陣A的特征向量也是其伴隨矩陣A?的特征向量5.(1)(20分)n階方陣A能表示成：A=HK，其中H=HT，K=?KT，BT是矩陣B的共軛轉(zhuǎn)置設(shè)ahk代表AHK中元素的最大模若z=xiy(xy分別是實(shí)部和虛部)是A的任一特征值，試證明|z|?na，|x|?nh，|y|?nk；(2)(5分)證明，Hermite矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)；(3)(5分)證明，反對(duì)稱矩陣的特

6、征值都是純虛數(shù)6.(15分)設(shè)A是n維實(shí)線性空間V的線性變換，n?1證明，A至少有一個(gè)維數(shù)為1或2的不變子空間7.設(shè)n階循環(huán)矩陣C為??????c0c1cn?1cn?1c0cn?2............c1c2c0??????(1)(12分)求C的所有特征值以及相應(yīng)的特征向量；(2)(8分)求C的行列式detC8.(15分)設(shè)Mn(C)是復(fù)數(shù)域上所有n階方陣構(gòu)成的線性空間，T:Mn(C)→C是一個(gè)線性映射，滿足T(AB)=T(BA)證