2016年華南理工大學研究生入學考試專業(yè)課真題864_高等代數(shù)_第1頁
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1、864華南理工大學2016年攻讀碩士學位研究生入學考試試卷(請在答題紙上做答,試卷上做答無效,試后本卷必須與答題紙一同交回)科目名稱:高等代數(shù)適用專業(yè):基礎數(shù)學應用數(shù)學計算數(shù)學概率論與數(shù)理統(tǒng)計運籌學與控制論共2頁1.(15分)設f(x)和g(x)都是數(shù)域P上的次數(shù)不小于1的多項式.證明:(f(x)g(x))=1當且僅當存在唯一的多項式u(x)v(x)∈P[x]使得u(x)f(x)v(x)g(x)=1這里?(u(x))?(g(x))且?(

2、v(x))?(f(x)).2.(15分)設f(x)=a1a2xanxn?1ε0ε1...εn的n次單位根證明:?1為全部D==n?1ni=0f(εi).3.(20分)設A為n階方陣滿足A2=A.證明:(1)r(A)r(A?E)=n(2)r(Ak)r(A?E)l=n這里k£為任意自然數(shù).4.(15分)設£i=ci1x1ci2x2cinxni=12...pq這里cij∈R.試證明實二次型f(x1x2...xn)=£2£2£2?£2??£21

3、2的正慣性指數(shù)≤p負慣性指數(shù)≤q.pp1pq第1頁a1anan?1a2a1ana3a2a1an?1an?2an?3anan?1an?2a3a4a5a1a2a2a3a4ana15.(15分)對λ的不同的值判斷下述方程組是否有解?當有解時求出全部的解.?(3?2λ)x1????(2?λ)x2(2?λ)x1(2?λ)x2x1x2x3x3(2?λ)x3?=λ=1=1.??6.(15分)設矩陣A=???????2?1310130?12?1400?

4、??求A2016.?1???1?7.(20分)設V=Rn[x]若f(x)=)ni=0aixig(x)=)nbixi∈Vi=0規(guī)定內(nèi)積(f(x)g(x))=)ni=0aibi貝V為歐氏空間.令W=f(x)∈V|f(1)=0.(1)證明W為V的子空間決定其維數(shù)并舉出它的一組標準正交基(2)舉出W⊥的一組標準正交基.8.(20分)設R2中的線性變換A在基ε1=(12)ε2=(21)下的矩陣為??12?23?線性變換B在基η1=(11)η2=(

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