2017年華南理工大學研究生入學考試專業(yè)課真題864_高等代數(shù)

1、864華南理工大學2017年攻讀碩士學位研究生入學考試試卷（請在答題紙上做答，試卷上做答無效，試后本卷必須與答題紙一同交回）科目名稱：高等代數(shù)適用專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學應用數(shù)學計算數(shù)學概率論與數(shù)理統(tǒng)計運籌學與控制論共2頁1.(15分)設(shè)g(x)h(x)是數(shù)域P上的多項式?(g(x))=m?(h(x))=n且(g(x)h(x))=1.又設(shè)f(x)是P上的任一個次數(shù)nm的多項式.證明:存在r(x)s(x)∈P[x]使得f(x)=r(x)g(x)s(

2、x)h(x)其中r(x)=0或者?(r(x))n?(s(x))m.2.(20分)設(shè)三元非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣的秩r(A)=這里A為三階方陣X=(x1x2x3)1b=(b1b2b3)1=0.知η1η2η3是AX=b的三個解向量η1η2=(123)1η2η3(0?11)1η3η1=(10?1)1求該方程組的基礎(chǔ)解系.1己=3.(20分)設(shè)A為n階方陣A的(ij)元素aij=|i?j|求行列式|A|的值.4.(20分)己知α1α2

3、α3是三維歐氏空間V的一組基且這組基的度量矩陣為?11?A=????1?120???0?14?求V的一組標準正交基(用α1α2α3表示出來).第1頁5.(20分)設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間V是V的子空間且dimV≥.n112(1)證明:存在V的子空間W1W2使得V=V1⊕W1=V1⊕W2而W1∩W2=0(2)問:當dimV1n時上述結(jié)論是否成立為什么26.(20分)設(shè)f(x)g(x)是數(shù)域P上的多項式(f(x)g(x))=1A是P上的

4、n階方陣.證明:f(A)g(A)=0當且僅當r(f(A))r(g(A))=n.7.(20分)設(shè)A是復數(shù)域C上的任一個n階方陣.(1)設(shè)λ1是A的一個特征值證明:存在C上的n階可逆方陣T使得?λ1?T?1AT=??0?0b12b22bn2b1n?b??2n???????bnn?(2)對n作歸納法證明A必相似于一個上三角矩陣:?λ1??c12λ2???c1n???c?2n??.???λn?8.(15分)設(shè)A是n維歐氏空間V的對稱變換.證明: