第十一講 估計水箱水流量模型

1、第十一講 估計水箱水流量模型,一、問題的提出 隨著社會和經(jīng)濟的不斷發(fā)展，環(huán)境和資源問題日益突出，水便是其中的主要問題之一。1997年聯(lián)合國水資源會議曾鄭重向全世界發(fā)出警告：“水，不久將成為繼石油危機之后的下一個社會危機”。我國是一個缺水的國家，人均水資源擁有量僅為2150m3/a（按13億人計），不到世界人均水平的四分之一，排在世界第109位。特別是“三北”（東北、華北和西北）地區(qū)和經(jīng)濟發(fā)達的沿海地區(qū)，水的供需矛盾已十分突

2、出。有關(guān)資料表明，我國每年因缺水而,影響工業(yè)產(chǎn)值已達2300多億元。預(yù)計到本世紀(jì)末，全國年總需水量將達到700億m3，而缺水量也將達到70億m3，水資源短缺已成為制約我國經(jīng)濟和社會發(fā)展的重要因素。某些地區(qū)的用水管理機構(gòu)為了達到節(jié)約用水的目的，需估計公眾的用水速度（單位是G/h）和每天總用水量的數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在許多地方?jīng)]有測量流入或流出水箱流量的設(shè)備,而只能測量水箱中的水位（誤差不超過5%）。當(dāng)水箱水位低于某最低水位L時，水泵抽水，灌入水箱

3、內(nèi)直至水位達到最高水位H為止，但是也無法測量水泵的流量，因此在水泵啟動時不易建立水箱中水位和水泵工作時用水量之間關(guān)系。水泵一天灌水1～2次，每次約2h。試估計在任意,法測量水泵的流量，因此在水泵啟動時不易建立水箱中水位和水泵工作時用水量之間關(guān)系。水泵一天灌水1～2次，每次約2h。試估計在任意時刻(包括水泵灌水期間)流出水箱的流量，并估計一天的總用水量。 表1給出了某鎮(zhèn)中某一天的真實用水?dāng)?shù)據(jù)，表中測量時間以秒為單位，水位以E為單位

4、。例如3316s以后，水箱中的水深降至31.10E時，水泵自動啟動把水輸入水箱；而當(dāng)水位回升至35.5E時，水泵停止工作。 本問題中使用的長度單位為E(=30.24cm）;容積單位為G(=3.785L(升))。水箱為圓柱體，其直徑為57E.,表1 真實用水?dāng)?shù)據(jù),二、問題的分析 1. 數(shù)據(jù)變換：水位與時間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為水箱中水的體積與時間的關(guān)系. 2. 探求水箱中水的流量與時間的函數(shù)關(guān)。,,三、模型假設(shè) 1

5、．除了問題中特別說明的數(shù)據(jù)以外，其它給定的數(shù)據(jù)其測量誤差不超過5%。 2．影響水箱流量的唯一因素是該區(qū)公眾對水的普通需要。所給的數(shù)據(jù)反映該鎮(zhèn)在通常情況下一天的用水量，不包括任何非常情況，如水箱中水的短缺、水管破裂、自然災(zāi)害等。,由托里查里（Torricelli）定律，從水箱中流出水的最大速度與水位高的平方成正比。對于所給的數(shù)據(jù)，其水位的最大高度為35.5E，最小高度為27E，因此對兩個高度的最大流速比為 ，這個數(shù)字已

6、很接近1，所以可以假,定水位對流速沒有影響。類似地，還假設(shè)大氣情況，溫度變化等對水流速均無直接影響。,3．水泵的灌水速度為常數(shù)，不隨時間變化也不是已灌水量的函數(shù)，因此假設(shè)水泵大約在水位27E時開始灌水，在水位35.5E時停止灌水。同時假設(shè)水泵不會損壞或不需要維護。 4．從水箱中流出的最大流速小于水泵的灌水速度。為了滿足公眾的用水需求不讓水箱中的水流盡。 5．每天的用水量分布都是相似的。因為公眾對水的消耗量是以全天的活

7、動（諸如洗澡、做飯、洗衣服等）為基礎(chǔ)的，所以每日用水類型是相似的。,6．水箱的流水速度可用光滑曲線來近似。每個用戶的用水需求量與整個區(qū)的用水需求量相比微不足道，而且它與整個社區(qū)需求量的增減情況是不相似的。,四、分析與建模 引入如下記號： V、Vi — 水的容積，時刻ti水的容積G）； ti — 時刻（h）； p — 水泵的灌水速度（G/h）; T0 — 初始數(shù)據(jù)

8、的當(dāng)天測量時間; T — 當(dāng)天的時間（以24小時制）; f(t) — 流出水箱的流速是時間的函數(shù)（G/h）;,根據(jù)需要先將表2中的數(shù)據(jù)作變換，即 ，其中R表示水塔底面半徑，L(t)表示時刻t時水箱的水位高度，秒（s）變換為小時（h），水位高變換為水的體積，得到表2。,表2 水量數(shù)據(jù),從此表的數(shù)據(jù)可知,在水泵的第二次抽水時間區(qū)間內(nèi),從水箱中流出的平均流速必定大于第一次抽水時

9、的流速。因為第二次灌水時間長得多。但是，第二次水泵停止灌水的確切時刻是未知的，在水泵第二次灌水后所測得的水位與水泵實際停止運行的水位是不同的,因此,水泵停止運行的時刻一定在圖2右邊陰影部分兩次測量時間之間.我們需要估計水泵開始和停止灌水的時間. 水泵第一次約在8.968h后開始運行的,因為這時水箱中水的體積約為514800G,水泵停止灌水時間在10.926h～10.954h之間的0.028長的區(qū)間內(nèi)。,我們可以確定水泵第二次開始

10、運行時間為20.839h,因為這時水的體積又為14800G ,也可確定水泵第二次停止運行時間為22.958h, 這是由于在緊接著的測量時刻23.88h測得水的體積為663400G,與水泵停止時的水位67700G相比流掉了14300G。 計算出在相鄰時間區(qū)間的中點及在時間區(qū)間內(nèi)水箱中流出水的平均速度，并將其列成表3,并劃出其散點圖。,表3 流量數(shù)據(jù),下面就對表3的數(shù)據(jù)進行擬合,最后對其積分計算出每天的用水總量。借助于軟件包（

11、Mathematica）用9次多項式進行擬合，得,擬合的復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.980767,t 的定義由下式給出.,,似乎采用9階多項式有些過分難，其實，數(shù)據(jù)的波動決定了只有采用高階多項式擬合才能提高數(shù)據(jù)擬合的準(zhǔn)確性。采用低于9階多項式擬合，其復(fù)相關(guān)系數(shù)不是很大，因此，我們選擇了9階多項式進行回歸擬合。另外，f 為多項式時，容易進行積分。,已假定水泵的灌水速度為一常數(shù)，同時知道在水泵抽水時，水箱中水的體積平均變化速度?V/?t應(yīng)近似等于水泵

12、的灌水速度p減去這段時間從水箱中流出水的平均流速，所以、 p可表示為,,這里f(t)在?t區(qū)間的兩端點間進行積分。,如果此模型確實準(zhǔn)確地模擬了這些數(shù)據(jù)，那么在不同的灌水周期中，按此模型計算出的水泵灌水速度應(yīng)近似為常數(shù)。下面，通過水泵開始和停止工作的兩段區(qū)間檢驗這一點。,,?t1區(qū)間內(nèi)f(t)的平均值為,,,所以，,,?t2區(qū)間內(nèi)f(t)的平均值為,計算得到的p1與p2相差僅3.6%，此結(jié)果足以支持該模型。,由于假設(shè)了在全天中從水箱里流

13、出的水流量是平穩(wěn)的,且我們所得到的數(shù)據(jù)點非常接近于水泵抽水的開啟和停止時間，因此，在水泵第一次灌水時情況就不同了，因為從表4-3估計得到水泵開啟和停止時水的流速相差1000G/h，且數(shù)據(jù)沒有給出水泵停止灌水的近似數(shù)據(jù)點，因此,在第二此灌水時得到的平均流速要比實際平均流速小很多。,五、模型求解 由上面的“分析余建?！敝械玫剿牧魉俸瘮?shù)f(t)在t= 0.46 (h)和t=24.46(h)時的值分別近似為14170 G/h和1373

14、0 G/h,相差僅3%，從而可認為得到了f(t)的連續(xù)性。于是，一天里的用水總量近似地等于曲線f(t)在24小時周期內(nèi)的積分 這個數(shù)字近似對應(yīng)于水箱總體積的1.5倍。因為按常規(guī)每1000人的用水量為105000(G/d),其中d為天，因此估計這個區(qū)大約有3200人。,,從f(t)也可求得流出水箱的平均流速 還可求得水泵的平均流速為,六、模型的評價

15、 1.優(yōu)點 (1) 模型的主要優(yōu)點是證實了水泵的灌水速度是常數(shù),這也是我們所期望的。 (2) 如果所給數(shù)據(jù)反映了該社區(qū)的通常情況,那么 可適合于一天的任何時刻。,(3) 任意時刻從水箱中流出水的流速都可通過多項式模型計算出來。 (4) 用9次多項式曲線擬合所給的數(shù)據(jù)其復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.981, 且回歸值與原始數(shù)據(jù)點沒有很大的波動。 (5) 在24小時周期的端點,模型的取值非常接近,可以推測幾天的流速

16、。 (6) 人們自然會將用水量與用電量聯(lián)系起來,特別是對家庭不用天然氣的情況。例如，燒飯需要大量的水來洗碗。同時燒飯和照明等也要用電,洗澡的耗水量也很大 ,并伴隨著電力的消耗(熱水器、電吹風(fēng)等)。通過調(diào)查比較得到,用水分布類型是及其相似的。,2. 缺點 (1) 該模型的一個主要缺點就是數(shù)據(jù)太少,只能參照一天的數(shù)據(jù),而對任何現(xiàn)象建模時,最好有在不同條件下很多天所采集的數(shù)據(jù)。 (2) 如果知道水泵的抽水速度,就能更好