無源網(wǎng)絡(luò)的分析

1、2.1 用直接法綜合無源網(wǎng)絡(luò),2.1.1 LC網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗,1 LC網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗及其零極點分布 常用的六種LC網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗及其零極點分布如圖所示。,,LC網(wǎng)絡(luò),L2,輸入阻抗,,零、極點的位置,LC網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗Z(s)零點和極點的特點：,LC網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗的零點和極點都在虛軸上、是簡單的;零點和極點是交替出現(xiàn)的, 不會有兩個零點或兩個極點在虛軸上相鄰的情況；原點處既可能出現(xiàn)零點，也可能出現(xiàn)極點；LC網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗的區(qū)別

2、在于零點和極點的數(shù)目以及在虛軸上的位置；一對共軛復頻率±jωo共同形成(s2+ωo2)項。因此，如果Z(s)有一個極點在原點處，則Z(s)的表達式的形式為：,,,,,,極 零 極 零 極,如果Z(s)有一個零點在原點處，則Z(s)的表達式的形式為：,,也就是說，如果最高的截止頻率是一對極點，則分母多項式的次數(shù)比分子多項式的次數(shù)高。如果最高的截止頻率是一對零點，則分母多項式的次數(shù)比

3、分子多項式的次數(shù)低。當s很大或很小時，Z(s)是如下兩種情況中的一個：,,也就是說，在頻率接近零或無窮大時，輸入阻抗相當于一個電感或電容。,,,,,零 極 零 極 零,例2.2 已知一個網(wǎng)絡(luò)的輸入電抗變化曲線如圖2-1-2所示。求其阻抗表達式Z(s).,解：(1)從電抗曲線可知，Z(s)的極點為s=0和s=±j3( ω=3,則ｓ＝ｊω＝±j3) ，零點為 s=&#

4、177;j2 和s=∞。由此可寫出Z(s)的表達式：,(2) 求H:令s=jω,沿虛軸計算Z(s):,從電抗曲線可知,當ω=1時，Z(ω)=-1.于是可求得： H=8/3(3)所求的阻抗函數(shù)為：,比較,和,可得如下關(guān)系：,求得各元件值為：,可用如下電路實現(xiàn)：,1 RC網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗及其零極點位置 八種常用的RC網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗及其零極點位置如圖所示.,2.1.2 RC網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗,RC網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗Z(s)的特點：,

5、零點一定在負實軸軸上，是簡單的。極點在負實軸軸上或原點處，是簡單的。零點和極點是交替出現(xiàn)的；靠近原點處的第一個臨界頻率是極點。,2.2 用部分分式法綜合無源網(wǎng)絡(luò),,利用部分分式法綜合實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)稱為福斯特網(wǎng)絡(luò)。其中，　只包含電感和電容元件的福斯特網(wǎng)絡(luò)稱為LC福斯特網(wǎng)絡(luò)。　只包含電阻和電容元件的福斯特網(wǎng)絡(luò)稱為RC福斯特網(wǎng)絡(luò)。　這些網(wǎng)絡(luò)都是通過網(wǎng)絡(luò)的端口特性進行設(shè)計的。網(wǎng)絡(luò)的端口特性可以用阻抗表示，也可以用導納表示。根據(jù)阻抗表示

6、式實現(xiàn)的福斯特網(wǎng)絡(luò)稱為福斯特1型網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)導納表示式實現(xiàn)的福斯特網(wǎng)絡(luò)稱為福斯特2型網(wǎng)絡(luò)。,2.2.1ＬC福斯特1型網(wǎng)絡(luò) (1)ＬC福斯特1型網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu) 為了實現(xiàn)福斯特1型網(wǎng)絡(luò)，考慮LC網(wǎng)絡(luò)阻抗最常用的表達式：,將Z(s)的表達式展開為部分分式，并將復共軛項組合，得：,,K的求法如下：,由上式可知： 第一項:Z1=Hs, 可以用一個電感量為H亨的電感實現(xiàn)： 第二項:Z2=k0/s, 可以用一個電容量為1/k0

7、法拉的電容實現(xiàn)： 第三項：,,,,,,H,,其中，,導納Y3由兩個導納組成，第一個是導納為1/k1法拉的電容，第二個是導納為k1/ω2p1亨利的電感。電容和電感并聯(lián)構(gòu)成阻抗Z3。 式（2-2-2）的其它各項也可以由電容和電感并聯(lián)構(gòu)成。 式（2-2-2）的完全實現(xiàn)電路如圖2-2-1所示。,,圖2-2-1 福斯特1型網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn),,,,,,（2）福斯特1型網(wǎng)絡(luò)的特點,凡是歸一化系數(shù)為正、在虛軸上具有相互交替的簡單零點

8、和極點的有理函數(shù)所表示的輸入阻抗都可以用圖2-2-1所示的福斯特1型網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)；第一個電感使Z(∞)=∞ ,即Z(s)在s=∞時為無窮大。如果沒有它，Z(∞)=0。這是因為在這種情況下，兩個輸入端之間由多個電容連通； c. 第一個電容使Z(0)=∞,即Z(s)在s=0時為無窮大。如果沒有它，Z(0)=0。這是因為在這種情況下，兩個輸入端之間有多個電感連通；,d. Z(s)的每一個極點對應一個元件；e. 電容和電感的數(shù)目要么相等，

9、要么差值為1；f. 該網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了Z(s)的全部各種極點：第一個串 聯(lián)電感實現(xiàn)了無窮大處的極點；第一個串聯(lián)電容實現(xiàn)了原點處的極點；第一個并聯(lián)LC電路實現(xiàn)了±jωp1處的極點；第n個并聯(lián)LC電路實現(xiàn)了±jωpn處的極點；g. 從福斯特1型網(wǎng)絡(luò)不能看出零點的分布情況。,LC福斯特1型網(wǎng)絡(luò)及其各元件的功能,(3) LC福斯特1型網(wǎng)絡(luò)元件數(shù)目的確定,a. 福斯特1型網(wǎng)絡(luò)元件數(shù)目由網(wǎng)絡(luò)阻抗函數(shù)Z(s)的 極點總數(shù)目(包括無

10、窮大處極點的數(shù)目)確定。 b. 串聯(lián)電感和串聯(lián)電容的確定 （a）如果元件的數(shù)目(極點的數(shù)目)為奇數(shù)，就需要一個串聯(lián)電感或串聯(lián)電容。 具體可以根據(jù)Z(0)的值是零還是無窮大來確定網(wǎng)絡(luò)的第一個串聯(lián)元件是電感還是電容。 如果Z(0)=0, 則網(wǎng)絡(luò)的第一個串聯(lián)元件是電感。 如果Z(0)= ∞,則網(wǎng)絡(luò)第一個串聯(lián)元件是電容。,也可以根據(jù)Z(∞) 值確定網(wǎng)絡(luò)的第一個串聯(lián)元件是電感還是電容。如果Z(∞)=0, 則網(wǎng)絡(luò)的

11、第一個串聯(lián)元件是電容。如果Z(∞)= ∞,則網(wǎng)絡(luò)的第一個串聯(lián)元件是電感。(b) 如果元件的數(shù)目為偶數(shù)，則網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)電感和串聯(lián)電容要么都需要，要么都不需要。 如果Z(0)= ∞或Z(∞)= ∞, 則網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)電感和串聯(lián)電容都需要。 如果Z(0)=0或Z(∞)=0, 則網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)電感和串聯(lián)電容都不需要。,c.確定LC并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的個數(shù) LC并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的個數(shù)根據(jù)阻抗函數(shù)共軛極點的對數(shù)來確定。,（4）福斯特1型網(wǎng)絡(luò)元件數(shù)值的

12、確定,網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值由Z(s)的表達式確定。下面舉例說明。,例2.5 (a)已知網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù) 假設(shè)H=1, 求對應的LC福斯特1型網(wǎng)絡(luò)； (b)假設(shè)H=10, 求對應的LC福斯特1型網(wǎng)絡(luò)； (c)如果Z(s)的表達式中的s用10s代替，求對應的LC福斯特1型網(wǎng)絡(luò) 。,解： (a) (1)求電路結(jié)構(gòu) Z(s)的極點為±j1, ±j3, 零點為0，±j

13、2，∞。極點和零點都為簡單極點且在虛軸上交替出現(xiàn)，歸一化因子為正，因此Z(s)為可實現(xiàn)的LC網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗。 Z(s)有4個極點，因此網(wǎng)絡(luò)可以用4個元件實現(xiàn)； 因為Z(0)=0,因此沒有串聯(lián)電容； 因為網(wǎng)絡(luò)元件數(shù)目為偶數(shù),因此沒有串聯(lián)電感； 因此網(wǎng)絡(luò)由2個LC并聯(lián)電路實現(xiàn)，如圖2-2-2。,為了求網(wǎng)絡(luò)中的元件值，將Z(s)展開為部分分式，并合并為復共軛的形式：,,,,,,,,,由此可得：,,LC網(wǎng)絡(luò),L2

14、,輸入阻抗,,零、極點的位置,,元件值的求法: 方法:根據(jù)圖2-2-2給出的各元件的值求. 電容的值為 電感的值為,(b) 如果阻抗的歸一化因子H乘以10，即H由1 變?yōu)?0，就說明網(wǎng)絡(luò)的阻抗擴大為原來的10倍。則每個元件的阻抗應擴大10倍。 于是，L1和L2變?yōu)?0 L1和10L2; C1和C2變?yōu)镃1/10和C2/10。,(c) 如果Z(s)的表達式中

15、的s用10s代替，就說明電路的工作頻率增加為原來的10倍。則每個電感的感抗和每個電容的導納增大為原來的10倍。 于是, L1和L2變?yōu)?0 L1和10L2; C1和C2變?yōu)?0C1和10C2。,2.2.2 福斯特2型網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn),(1) 福斯特2型網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu) 為了實現(xiàn)福斯特2型網(wǎng)絡(luò)，考慮LC網(wǎng)絡(luò)導納的最常用表達式：,,將Y(s)的表達式展開為部分分式，并將復共軛項組合，得(注意:與Z(S)的

16、形式相同,但性質(zhì)是導納.),式（2-2-5)中，系數(shù)K的求法如下（注意:與Z(S)的形式相同,但運算對象是導納）：,,,,從式（2-2-5）可知，Y(s)為導納之和，所以該網(wǎng)絡(luò)可以由并聯(lián)元件實現(xiàn)： 第一項Hs, 可以用一個電容量為H法拉的電容實現(xiàn)； 第二項k0/s, 可以用一個電感量為1/k0亨的電感實現(xiàn)； 第三項是：,其中，,,阻抗Z3由兩部分組成，第一個是1/k1亨利的電感，第二個是k1/ω2p1法拉的電容。電容和電感串聯(lián)構(gòu)成

17、阻抗Z3。 式（2-2-5）的其它各項也可以由電容和電感串聯(lián)構(gòu)成。 式（2-2-5）的完全實現(xiàn)電路如圖2-2-3所示。,圖2-2-3 福斯特2型網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu),（2）福斯特2型網(wǎng)絡(luò)的特點,由以上推導和圖2-2-3 可以看出，福斯特2型網(wǎng)絡(luò)具有以下特點.(為了統(tǒng)一,還是討論Z(S))a. 凡是歸一化系數(shù)為正、在虛軸上具有相互交替的簡單零點和極點的有理函數(shù)所表示的輸入阻抗都可用圖2-2-3所示的福斯特2型LC網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)；b. 第一個

18、電容實現(xiàn)Z(∞)= 0。 如果沒有它，其它的電感在s=∞時會使網(wǎng)絡(luò)開路，從而使Z(∞)= ∞；c. 第一個電感實現(xiàn)Z(0)= 0。 如果沒有它，其它的電容在s=0時會使網(wǎng)絡(luò)開路，從而使Z(0)= ∞；,d. 該網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了Z(s)的全部各種零點：第一個并聯(lián)電容實現(xiàn)了無窮大處的零點；第一個并聯(lián)電感實現(xiàn)了原點處的零點；第一個串聯(lián)LC電路實現(xiàn)了±jωp1處的零點；第n個串聯(lián)LC電路實現(xiàn)了±jωpn處的零點；

19、e.從福斯特2型網(wǎng)絡(luò)不能看出Z(s)的極點的分布情況。,圖2-2-3 福斯特2型網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu),（3）福斯特2型網(wǎng)絡(luò)元件數(shù)目的確定,Z(s)的每一個極點對應一個元件。因此，由網(wǎng)絡(luò)阻抗函數(shù)Z(s)的極點總數(shù)目(包括無窮大處極點的數(shù)目)確定。 (這是根據(jù)福斯特2型網(wǎng)絡(luò)元件數(shù)目的確定方法推得的),b. 并聯(lián)電感和并聯(lián)電容的確定 電容和電感的數(shù)目要么相等，要么差值為1； 如果元件的數(shù)目為奇數(shù)，就需要一個并聯(lián)電感或并聯(lián)電

20、容。具體可以根據(jù)Z(∞)和Z(0)的值來確定。 如果Z(∞)=0, 則網(wǎng)絡(luò)的第一個元件是并聯(lián)電容； 如果Z(0)=0, 則網(wǎng)絡(luò)的第一個元件是并聯(lián)電感。,如果元件的數(shù)目為偶數(shù)，則網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)電感和并聯(lián)電容要么都需要，要么都不需要。 如果Z(∞)=0 則網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)電感和并聯(lián)電容都需要。 如果Z(0)= ∞,則網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)電感和并聯(lián)電容都不需要。,c. LC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的個數(shù)的確定 LC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)

21、的個數(shù)=總的元件數(shù)目-并聯(lián)電容和并聯(lián)電感的數(shù)目3）福斯特2型網(wǎng)絡(luò)元件數(shù)值的確定 網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值由Z(s)的表達式確定,例2-2-2 用福斯特2型網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)如下輸入阻抗函數(shù),解: a）阻抗函數(shù)Z(s)有4個極點±j1, ±j3 ，三個有限零點0, ±j2,一個無限遠處的零點. 零點和極點互相交替. 所以, 可以用LC福斯特網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)該阻抗函數(shù)。,,解：b）. 確定網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)目及電路 由于Z

22、(s)有4個極點±j1, ±j3 ，所以網(wǎng)絡(luò)總共有4個元件。 由于Z(0)=0，所以需要一個并聯(lián)電感。 由于元件數(shù)目為偶數(shù)，所以需要一個并聯(lián)電容。 由此可以確定電路的結(jié)構(gòu)如圖2-2-4 所示：,用1型網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn),用2型網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn),用不同網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)相同的轉(zhuǎn)移函數(shù),,,b. 確定元件值 由Y(s)的部分分式可知：,其中，H=1,,,其中,根據(jù)Y(s)的表達式和圖2-2-3 中的元件的關(guān)系可以求得各元件

23、的值為：,,,,也可以根據(jù)Y(s)的展開式求元件值：,與原電路比較可知有如下關(guān)系：,2.2.3 RC福斯特1型網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn)(1) RC福斯特1型網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu),,RC福斯特1型網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu),福斯特2型RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu),福斯特1型RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu),,設(shè)α1 =0，即分子多項式和分母多項式的次數(shù)相等，則上式可表示為：,,,,為了實現(xiàn)福斯特1型RC網(wǎng)絡(luò)，考慮RC網(wǎng)絡(luò)阻抗最常用的表達式：,LC網(wǎng)絡(luò),K的求法如下,實現(xiàn)電路如圖所示：,,,,,,,圖2-2

24、-5 福斯特1型RC網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn),實現(xiàn)原點處的極點Z(0)=∞,防止s=∞時網(wǎng)絡(luò)被電容短路,負實軸上位于(-1/RiCi)處的極點z(α)=∞,（2）福斯特1型RC網(wǎng)絡(luò)的特點,由以上推導和圖2-2-1 看出，福斯特1型網(wǎng)絡(luò)具有以下特點a.如果一個阻抗函數(shù)的歸一化系數(shù)為正、零點和極點是簡單的、相互交替的、并且位于非正實軸上的，而且在原點處或最靠近原點處是一個極點的話，都可以用圖2-2-1所示的福斯特1型網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)；b. Z(s)的低頻特

25、性Z(0)決定第一個電容是否出現(xiàn): 如果Z(0)= ∞,則圖2-2-5中的第一個串聯(lián)電容必須出現(xiàn)，以使s=0時網(wǎng)絡(luò)開路。 如果Z(0)≠ ∞，則圖2-2-5中的第一個電容不能出現(xiàn),以使網(wǎng)絡(luò)在s=0時有一個電阻通路。,c. Z(s)的高頻特性Z(∞)決定第一個電阻是否出現(xiàn): 如果Z(∞) ≠0,則圖2-2-5中的第一個串聯(lián)電阻必須出現(xiàn)，以防止s=∞時網(wǎng)絡(luò)被電容短路。 如果Z(∞) =

26、0,則圖2-2-5中的第一個電阻必須不出現(xiàn)，以使網(wǎng)絡(luò)的輸入端有一個電容通路使網(wǎng)絡(luò)在s=∞時短路。 低頻特性 ， Z(0) ， Z(s)|s=0 這三種表述等效 高頻特性， Z(∞) ， Z(s)|s=∞　這三種表述等效,d.電阻與電容數(shù)目的決定: 由s很大和很小的時候, Z(s)的特性決定： 當s很大和很小的時候,如果Z(s)的特性都是一個電阻，則在實現(xiàn)電路中的電阻元件的數(shù)

27、目比電容的數(shù)目大1。 當s很大和很小的時候,如果Z(s)的特性都是一個電容，則在實現(xiàn)電路中的電容元件的數(shù)目比電阻的數(shù)目大1。,當s很大和很小的時候,如果Z(s)的特性不一樣,則電阻的數(shù)目與電容的數(shù)目相等.即: 當s很大的時候，如果Z(s)的特性是一個電阻，而當s很小的時候， Z(s)的特性是一個電容，或者相反，則在實現(xiàn)電路中的電阻元件的數(shù)目與電容的數(shù)目相等。 電容的數(shù)目等于阻抗函數(shù)極點的數(shù)目. 在任何情況下

28、,有一個極點，就有一個電容。,e. 該網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了Z(s)的各種極點：第一個電容實現(xiàn)了原點處的極點；每一個RC并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)了負實軸上位于(-1/RiCi)處的極點；,例2.7 用福斯特1型RC網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)下列阻抗函數(shù)：,解：(1)求電路結(jié)構(gòu) 因為Z(s)的零點和極點是交替出現(xiàn)在非正實軸上，所以該函數(shù)是可以用RC網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)的。,,因為Z(s)有3個極點，因此電路必須包括3個電容。包含3個電容的電路可能有：,,,當s很大和很小的時

29、候，Z(s)的特性都是電容性的，即,,所以，所實現(xiàn)的電路電容元件的數(shù)目比電阻的數(shù)目大1。故電路必須包含2個電阻3個電容。用福斯特1型RC網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)Z(s)的電路如圖2-2-6。,（2）求元件值為求元件值，將Z(s)的表達式展開為：,求系數(shù)：,,于是有：,將上式與圖2-2-5相比可以得到：,(1) ＲC福斯特2型網(wǎng)絡(luò)可實現(xiàn)的條件： 如果一個阻抗函數(shù)的零點和極點是簡單的、位于非正實軸上的，并且它在原點處或最靠近原點處是一個極點的話

30、，可以用RC福斯特網(wǎng)絡(luò)（1型或2型）實現(xiàn)。 也就是說, 具有下列形式的阻抗函數(shù)可以用RC福斯特網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn) :,2.2.4 福斯特2型RC網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn),,,(2) ＲC福斯特2型網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu),a. 為了方便，先求Y(s)/s。 b.由Y(s)/s求得Y(s)。 c. 將Y(s)進行因式分解。求出各因式的系數(shù)K。 d.根據(jù)Y(s)的表達式求出相應的電路結(jié)構(gòu)。,(因為通常給出的是阻抗函數(shù)Z(s), 而Z(s)的表

31、達式的分母的階次一般都大于分子的階次。直接展開Y(s)會得到負的K值，因而為了方便，先求Y(s)/s，而不是直接對Y(s)進行因式分解。 ),K值按下式求得：,求得ki值以后，將式（2-2-8）乘以s，得Y（s）的展開式,Kn/αn,圖2-2-7 福斯特2型RC網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn),,,,,,例2.8用福斯特2型RC網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)下列阻抗函數(shù)（與例2-2-3的相同）：,,解： 因為Z(s)的零點和極點是交替出現(xiàn)在非正實軸上，所以該函數(shù)是可以用R

32、C網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)的。,因為Z(s)有3個極點，因此所實現(xiàn)的電路必須包括3個電容。 當s很大和很小的時候，Z(s)的特性都是一個電容，即,所以，所實現(xiàn)的電路必須包括2個電阻(電容的數(shù)目比電阻多1)。,用福斯特2型RC網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)Z(s)的電路如圖2-2-8所示。,C6,圖2-2-8 福斯特2型RC網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn),（2）求元件值,為了求元件值，將Y(s)/s的表達式展開：,求得Y(s)的表達式為,各系數(shù)的求法如下:,將上式與圖2-2-8相比可以得到：

33、,例2.9 某一振蕩器含有3次諧波失真.設(shè)計一個濾波器,要求：能抑制3次諧波失真而不衰減基波分量.,解:該濾波器可以用一個阻抗Z來實現(xiàn). 設(shè)基波頻率為ω . 為了能抑制3次諧波信號,阻抗Z必須在 處具有零點. 為了不衰減基波分量,阻抗Z必須在 處具有極點。因此,阻抗函數(shù)應為：,原點處附加的零點不影響對3次諧波信號的抑制,也不影響基波信號的通過（如果輸入

34、中含有直流分量，則不能附加該零點）。該函數(shù)可以用福斯特1型電路實現(xiàn)，也可以用福斯特2型電路實現(xiàn)。,上述阻抗函數(shù)不能用無源元件來實現(xiàn)。因為它的零點和極點不是交替的。為了能用無源元件來實現(xiàn)，修改使原函數(shù)在原點處具有零點：,福斯特1型實現(xiàn)電路：將原函數(shù)Z(s)分解為部分分式,福斯特2型實現(xiàn)電路：將導納函數(shù)Y(s)分解為部分分式,2.4 端接電阻的LC梯形網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計,1. Why are we interested in LC ladde

35、r networks? (1) Imaginary-axis transfer-function zeros may be implemented by the proper choice of LC impedances in the series and shunt arms of the ladder. (2) With RC ladder networks, negative real-axis poles an

36、d zeros can be implemented. (3) Resistively terminated LC ladder networks may be used to realize transfer functions with left half-plane poles. Low-pass, high-pass, band-pass, and band-stop filters are examples

37、of such realizations.,2.4.1 梯形網(wǎng)絡(luò)及其主要性質(zhì),2.The main feature of ladder networks (1) A ladder network is composed of elements connected alternately in series and in parallel. (2) If the input is a voltage source, the

38、 first element is almost always a series element (in this case, any shunt element would affect only the input impedance but not the transfer function). If the input is a current source, the first element is almost always

39、 a shunt element.,(3) Most ladder networks are designed with a common input and output terminal. (4) Another important feature of ladder networks is the ease with the zeros of the transfer function are recognized or

40、implemented. A zero of transfer function occurs for those values of s that make a series impedance infinite or a shunt impedance zero .（前面學過的阻抗和現(xiàn)在的轉(zhuǎn)移函數(shù)的關(guān)系）,１.Transfer-function zero-producing sections,Fig.2-4-1 Serie

41、s elements and its transfer function zero (s),at infinityS=∞,at originS=0,2.4.2 梯形網(wǎng)絡(luò)傳輸零點的實現(xiàn),2.Transfer-function zero-producing sections,Fig.2-4-2 Shunt elements and its transfer function zero (s),at infinityS=∞,at ori

42、ginS=0,The input-impedance function of LC network has poles and zeros that are purely imaginary. If the LC networks are used in the series or in the shunt arms of a ladder, cause transfer-function zeros that are on

43、 the imaginary axis only. LC網(wǎng)絡(luò)的零極點都是虛的,因此將LC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)用在梯形網(wǎng)絡(luò)的并臂上或?qū)C并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)用在梯形網(wǎng)絡(luò)的串臂上，就可以實現(xiàn)梯形網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移函數(shù)在虛軸上的零點.,(1)虛軸上零點的實現(xiàn)：,(2)無窮遠處零點的實現(xiàn) 將電感L用在梯形網(wǎng)絡(luò)的串臂上或?qū)㈦娙軨用在梯形網(wǎng)絡(luò)的并臂上可以實現(xiàn)梯形網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移函數(shù)在無窮遠處的零點.,(3)原點處零點的實現(xiàn) 將電感L用在梯形網(wǎng)絡(luò)的并臂上或?qū)㈦娙軨用在

44、梯形網(wǎng)絡(luò)的串臂可以實現(xiàn)梯形網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移函數(shù)在原點處的零點.,圖2-4-8 雙端接電阻的LC梯形網(wǎng)絡(luò),2.4.3 端接電阻的LC梯形網(wǎng)絡(luò)１.端接電阻的LC梯形網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)　在網(wǎng)絡(luò)的源端和負載端都有端接電阻的網(wǎng)絡(luò)稱為雙端接載的LC梯形網(wǎng)絡(luò)。如圖所示。,如果LC網(wǎng)絡(luò)連接成梯形網(wǎng)絡(luò)，則電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)的形式為：,其中Ｋ為零或正整數(shù)。 轉(zhuǎn)移函數(shù)的零點:位于虛軸上、原點處或無窮遠處。原點處可能有多重零點,它們是由串聯(lián)電容或并聯(lián)電感實現(xiàn)的;

45、 當 時,虛軸上也可能有多重零點. 轉(zhuǎn)移函數(shù)的極點:所有極點都有負實部,因此, 在原點處或無窮原處沒有極點.,式(2-4-5)可實現(xiàn)的條件: （1）零點：位于原點、虛軸上或無窮大處。 （2）極點: 位于s平面的左半平面,即原點或無窮大處不會有極點。 即：如果一個轉(zhuǎn)移函數(shù)沒有原點或無窮大處的極點，那么，它就可以用 一個端接電阻的LC網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)。　與ＬＣ網(wǎng)絡(luò)不同，端接電阻的L

46、C梯形網(wǎng)絡(luò)零點極點無須交替。,２.梯形網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移函數(shù)分母多項式的分解　設(shè)梯形網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移函數(shù)分母多項式為P(s),如果它的零點位于S左半平面 （RLC網(wǎng)絡(luò)的分母就具有這種形式），根據(jù)P(s)中S的冪次的奇偶,可將P(s)分解為偶部Ev(s)和奇部Od(s),即,分解以后的偶部和奇部具有以下性質(zhì):偶部和奇部的零點是簡單的、位于虛軸上。且偶部和奇部的零點(如果P是一個轉(zhuǎn)移函數(shù)的分母,則這些零點就是轉(zhuǎn)移函數(shù)的極點)是相互交替的;,(2)偶部和奇

47、部的比 或 與LC網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗函數(shù)的性質(zhì)完全相同。所以,由具有左半平面零點的多項式的偶部和奇部組成的 或 可以用LC網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗實現(xiàn).,由一個LC網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗函數(shù)的分子和分母多項式相加形成的多項式是一個具有左半平面零點的多項式.,Example 2-4-3 Given the polynomialShow that the ratio from the

48、even and odd parts of this polynomial is realizable as the input impedance of an LC network.,Solution The polynomial, in factored form, is,Note that all the zeros of P(s) in the left half-plane. Therefore, the ratio

49、 formed from its even and odd parts is LC-realizable. To show this, decompose P(s) into its even and odd parts and factor the resulting polynomials:,The zeros of Ev(s) are at:,The zeros of Od(s) are at:,The zeros of bo

50、th parts are simple and purely imaginary. Furthermore, they can be arranged in alternating order. Therefore, the rational function formed by the ratio of the even-to odd part or its inverse is realizable as the i

51、nput impedance of a LC network; for example,,2.4.4 源邊端接電阻的LC梯形網(wǎng)絡(luò) 因為一個電阻可以將一個LC網(wǎng)絡(luò)的極點移動到左半平面，該電阻可以放在網(wǎng)絡(luò)中比較方便的位置。一種可能就是置于輸入端，該電阻可以包含電源的內(nèi)阻。為了不失一般性，令該源電阻為１Ω（以后我們可以將網(wǎng)絡(luò)中每個元件的阻抗乘以源電阻ＲＳ的實際值。這種歸一化方式并不影響電壓比）。,圖2-4-9 源邊端接電阻的網(wǎng)絡(luò),實現(xiàn)圖2

52、-4-9所示網(wǎng)絡(luò)的源邊端接電阻的網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計步驟。,(1).將V0/Vi的分母多項式分解為偶部和奇部：,(2).根據(jù)轉(zhuǎn)移函數(shù)分子Ｎ中s最高次冪的奇、偶，分別利用下面的公式設(shè)計LC網(wǎng)絡(luò):,(3).將前面所設(shè)計的LC網(wǎng)絡(luò)接成如圖2-4-9所示的形式,就是所要設(shè)計的源邊端接電阻的LC網(wǎng)絡(luò).,如果源電阻是50 ,求H的值.,例2.13 設(shè)計一個網(wǎng)絡(luò),以實現(xiàn)下列傳遞函數(shù):,解:（1）網(wǎng)絡(luò)的可實現(xiàn)性討論 極點:網(wǎng)絡(luò)的

53、極點為-1, ,均位于s左半平面。 零點:原點處有一個零點，無窮大處有2個零點。 (因為分母比分子高2次,所以有2個零點位于無窮大處). 該函數(shù)沒有原點或無窮大處的極點，滿足式（2-4-5）的可實現(xiàn)條件?？梢杂?一個端接電阻的LC梯形網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)。,(2)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的分解 為了得到這樣的網(wǎng)絡(luò)，首先確定給定函數(shù)的N、Ev 和Od,=,故得：N=HS， Ev=2S2+1，

54、Od=S3+2S,（3）構(gòu)建LC網(wǎng)絡(luò) 因為N為奇，和用式（2-4-11a）構(gòu)建LC網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗：,將Z1LC展開為分式，得到福斯特Ⅰ型網(wǎng)絡(luò),其中 L1=1/2， C1= 4/3， L2=3/2,（4）構(gòu)建端接載的LC網(wǎng)絡(luò) 畫出Z的網(wǎng)絡(luò)并安排輸出端以使兩個零點位于無窮大處，一個零點位于原點處。實現(xiàn)電路如圖2-4-10a。其中無窮大處的二階零點由L1和C1實現(xiàn)，原點處的零點由L2實現(xiàn)。,,圖2-4-10a,,下

55、圖所示電路也符合Z1LC表達式的關(guān)系,但輸出端的安排不能實現(xiàn)兩個位于無窮大處的零點．,為了求H, 可求出S很大時圖2-4-10所示電路的傳遞函數(shù), 并將它和題目給出的傳遞函數(shù)進行比較得到。當S很大時圖2-4-10所示電路的傳遞函數(shù)為:,(S很大時: 與L1相比,RS可以忽略; 與C1相比, L2可以忽略.所以變成L1和C1的分壓).,,,,比較兩個轉(zhuǎn)移函數(shù),,當S很大時題目給出的傳遞函數(shù)為:,從而求得 H=3/2。,如果源電阻

56、不是1Ω而是50Ω，則需要將圖2-4-10a中各阻抗乘以50，就可以得到所需的電路.也就是將各電阻和電感值乘以50而將各電容值除以50而得到。其實現(xiàn)電路如圖2-4-10b所示。圖2-4-10a、b可以實現(xiàn)相同的傳遞函數(shù)。,圖2-4-10(b),圖2-4-10(a),下面用福斯特Ⅱ型電路實現(xiàn)上述傳遞函數(shù) 將Y1LC展開為部分分式：,其中： La=2，Lb=2/3，Ca=3/4 畫出當原電阻R為1Ω和50Ω時的福斯特Ⅱ型實現(xiàn)電路如

57、圖2-4-11a、b所示。,無限遠處的零點由Lb，C2實現(xiàn)。原點處的零點由La實現(xiàn)當S很大時可求出H值：,所以， H=2,,,,Z2LC,,,,,,,,,Vi TLC,Vo,RL1,+,-,2,2,負載端端接電阻 將網(wǎng)絡(luò)極點移動到左半平面的另一種辦法是在LC網(wǎng)絡(luò)的輸出端接入一個電阻，該電阻可能就是網(wǎng)絡(luò)的負載。設(shè)該電阻為1Ω。實現(xiàn)電路的形式為圖5—12a所示。,,（a）

58、 （b）圖2-4-12 負載端端接電阻,,,令TLC(s)代表端口2開路時從端口1到端口2的電壓傳輸函數(shù)，則Vi傳到端口2的實際電壓為ViTLC。 ZLC為LC網(wǎng)絡(luò)的輸出阻抗。則從端口2看進去的戴維南等效電路為圖2-4-12b所示。則,（2-4-14）,傳遞函數(shù)為,,（2-4-15），,（N 為偶數(shù)） （2-4-16a），,（N為奇數(shù)） （2-4-16b）。,因為TLC代表一個LC梯形網(wǎng)絡(luò)的電壓比，由式（2-4-6）

59、可知它是S的偶次函數(shù)。為了獲得TLC和Z2LC，將式（2-4-14）分解為,比較方程（2-4-14）和（2-4-16）得,（2-4-17a）,（2-4-17b）于是，根據(jù)所給定的電壓傳遞函數(shù)中的N、奇部Od、偶部Ev，就可以利用式(2-4-17a、b)構(gòu)造出TLC和Z2LC。Z2LC是一個梯形網(wǎng)絡(luò)，其中的各支路可以實現(xiàn)Vo/Vi的所有零點。,小結(jié)：負載端接電阻的LC網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計公式：,,例2.14設(shè)源阻抗為0Ω，負載為50Ω，設(shè)計一

60、個網(wǎng)絡(luò)以實現(xiàn)下列傳遞函數(shù)并求H的值. ：,,解： 所給的傳遞函數(shù)與例2-4-3中的相同。與例2-4-3一樣，我們首先將Vo/Vi分解，可獲得N、Ev和Od。,于是得：N=HS， Ev=2S2+1， Od=S3+2S,因為N為奇數(shù)，利用式（2-4-17a）構(gòu)建LC網(wǎng)絡(luò)的輸出阻抗Z2LC,將Z2LC展開為部分分式，以實現(xiàn)福斯特Ⅰ型電路：,于是得： C1=2，C2=2/3，L1=3/4 。,畫出Z2LC網(wǎng)絡(luò)并安排輸入端口以使無窮大處

61、具有2個零點，原點處有1個零點。端接負載電阻為1Ω時的實現(xiàn)電路為圖2-4-13a所示。無窮大處的零點由L1和C2實現(xiàn)，原點處的零點由C1實現(xiàn)。,當S很大時得：,求得H=2。 為了得到端接50負載時的實現(xiàn)電路。可將圖2-4-13a中各阻抗值乘以50，得到圖2-4-13b所示電路。,將Y2LC展開為部分分式的形式，可得到福斯特Ⅱ型電路。,于是得到： Ca=1/2， La=4/3， Cb=3/2。,所得到的福斯特Ⅱ型電路如圖2-4-14

62、（a）所示。其中無窮大處的零點由L和Cａ實現(xiàn)。原點處的零點由Cｂ實現(xiàn)。,（a） （b） 圖 2-4-14,當S很大時的,為,從而求得H=3/2。 端接負載電阻為50Ω時的電路為圖2-4-14（b）所示。,2.5 利用查表法設(shè)計無源梯形網(wǎng)絡(luò),1 無源梯形網(wǎng)絡(luò) 利用無源梯形網(wǎng)絡(luò)可以實現(xiàn)Butterworth低通濾波器和Chebyshe

63、v低通濾波器。若各元件的標號如圖所示，則各元件的參數(shù)分別如表2.1、2.2和2.3所示。,可以實現(xiàn)Butterworth和Chebyshev低通濾波功能的無源梯形網(wǎng)絡(luò),N C1 L2 C3 L4 C5 L6 C72 1.4142 1.41423

64、 1.000 0 2.000 0 1.000 04 0.765 4 1.847 8 1.847 8 0.76545 0.618 0 1.618 0 2.000 0 1.618 0 0.618 06 0.517 6 1.414 2 1.913 9 1.913 9 0.414 2 0.51

65、7 67 0.445 0 1.247 0 1.801 9 2.000 0 1.801 9 1.247 0 0.445 0,表2.1 歸一化Butterworth低通濾波器,表2.2 歸一化0.5dB 波紋Chebyshev低通濾波器,3 1.596 3 1.096 7 1.596 35 1.705 8 1.229 6

66、 2.540 8 1.229 6 1.705 87 1.737 3 1.258 2 2.638 3 1.344 3 2.638 3 1.258 2 1.737 3,表2.3 歸一化1.0dB 波紋Chebyshev低通濾波器,3 2.023 6 0.994 1 2.023 65 2.134 9 1.091 1

67、 3.000 9 1.091 1 2.134 97 2.166 6 1.111 5 3.093 6 1.173 5 3.093 6 1.111 5 2.166 6,2 例題2.16: 查表設(shè)計一個3階Butterworth無源梯形濾波器(保留3位小數(shù)). 解:查表2.1可得: 3階無源梯形網(wǎng)絡(luò)的分母多項式的系數(shù)為: C1= 1.000 , L

68、2 = 2.000 , C3= 1.000,相應的濾波電路為:,例題2.17: 查表設(shè)計一個3階0.5dB波紋Chebyshev無源梯形濾波器(保留3位小數(shù)). 解:查表2.2可得: 3階無源梯形網(wǎng)絡(luò)的分母多項式的系數(shù)為: C1= 1.596 , L2 = 1.097 , C3= 1.596,相應的濾波電路為:,精品課件！,精品課件！,例題2.18: 查表設(shè)計一個3階1dB波紋Chebyshev無源梯形濾波器(保留