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1、奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)的性質(zhì)設(shè)是奇函數(shù).)(xf(1)若有意義,則;)0(f0)0(?f(2)若,則;axfxg??)()(axgxg2)()(???(3)若函數(shù)有最大(小)值,則函數(shù)有最小(大)值,且函數(shù)的最大值與最)(xf)(xf)(xf小值互為相反數(shù).證明證明(1)在恒等式中,令后,可得.0)()(???xfxf0?x0)0(?f(2)可
2、得.aaxfaxfxgxg2])([])([)()(????????(3)這里只證明結(jié)論:若函數(shù)有最大值,則函數(shù)有最小值,且函數(shù)的)(xf)(xf)(xf最大值與最小值互為相反數(shù).設(shè)函數(shù)的定義域是D,得.)(xf)()(00xfxfDxDx?????因為奇函數(shù)的定義域D關(guān)于原點對稱,所以,得)(xfDxDx????,所以函數(shù)有最小值(為Dxxfxfxfxfxfxf??????????0000)()()()()()()(xf),且函數(shù)的最
3、大值與最小值互為相反數(shù).)(0xf?)(xf題1(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)1必修A版》(人民教育出版社,2007年第2版)第83頁第3(2)題)是否存在實數(shù)a使函數(shù)為奇函數(shù)?122)(???xaxf解由奇函數(shù)的性質(zhì)(1),可得.101)0(????aaf還可驗證:當(dāng)時,,即是奇函數(shù).1?a0)()(???xfxf)(xf所以存在實數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù).1?a)(xf題2(2007年高考安徽卷理科第11題)定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù),
4、又是周)(xf期函數(shù),是它的一個周期,若將方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)記為,T0)(?xf][TT?n則可能為()nA.0B.1C.3D.5題7若函數(shù)的最大值與最小值分別是Mm,則xxxxxxfcos224sin2)(22????????????()A.Mm=4B.Mm=4C.Mm=2D.Mm=2解D.可得.xxxxxfcos2sin1)(2????可得是奇函數(shù),且函數(shù)的最大值、最小值分別是xxxxxfxgcos2sin1)()(2????
5、?)(xg.11??mM由奇函數(shù)的性質(zhì)(3),可得.20)1()1(??????mMmM2偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用偶函數(shù)的性質(zhì)偶函數(shù)的性質(zhì)(1)若函數(shù)是偶函數(shù),則恒成立;()()fxxD?()()()fxfxxD??(2)若偶函數(shù)f(x)在處可導(dǎo),則;0x?(0)0f??(3)若偶函數(shù)f(x)的定義域是(可得關(guān)于原點對稱),是數(shù)集的關(guān)于原點對DDABD稱的兩個子集,則函數(shù)f(x)在數(shù)集上的值域相同.AB證明證明(1)當(dāng)且
6、時,;當(dāng)且時,0?xDx?)()()(xfxfxf???0?xDx?.所以欲證結(jié)論成立.)()(xfxf?(2)由題設(shè),可得0()(0)(0)limxfxffx?????0000()(0)()(0)()(0)()(0)(0)limlimlimlimxxxtfxffxffxfftffxxxt????????????????????????所以(0)(0)ff????(0)0f??(3)由偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,立得欲證結(jié)論成立.
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