高等數(shù)值分析作業(yè)次實驗

1、第|頁10500100015002000250030003500400014012010080604020020代代代代lg代|rk|代高等數(shù)值分析第一次實驗高等數(shù)值分析第一次實驗T1.構(gòu)造例子說明構(gòu)造例子說明CG的數(shù)值形態(tài)。當(dāng)步數(shù)的數(shù)值形態(tài)。當(dāng)步數(shù)=階數(shù)時階數(shù)時CG的解如何？當(dāng)?shù)慕馊绾危慨?dāng)A的最大特征的最大特征值遠(yuǎn)大于第二個最大特征值，最小特征值遠(yuǎn)小于第二個最小特征值時，方法的收斂性值遠(yuǎn)大于第二個最大特征值，最小特征值遠(yuǎn)小于第二個最小

2、特征值時，方法的收斂性如何？如何？Answer:對于問題對于問題1：當(dāng)步數(shù)=階數(shù)時CG的解如何？?在MATLAB中構(gòu)造N階對稱正定矩陣代碼如下：N=1000D=diag(r(N1))U=th(r(NN))A=UDU在計算時，取X0=zeros(N1)b=ones(N1)自己編寫CG算法，如下：Xk=X0rk=bAXkpk=rkcrk_1=rkrkfk=1:Nk=k1apk=Apkak=crk_1(pkapk)Xk=Xkakpkrk=rk

3、akapkcrk=rkrkbk_1=crkcrk_1crk_1=crkpk=rkbk_1pkm(k)=nm(rk)r(k)=kendplot(rmr)Ek=m(k)計算結(jié)果如下（繪制出來的隨迭代次數(shù)的變化如上圖所示）：log10‖‖N1000200030004000log10‖‖81.850598.3653126.3256115.8889運(yùn)行時間（s）4.30985530.205448105.792648289.610550由上表可以看

4、出對于對稱正定矩陣A，CG算法還是比較穩(wěn)定的，但求解步數(shù)=階數(shù)第|頁3D=diag(linspace(11000N))U=th(r(NN))A=UDU在計算時，取X0=zeros(N1)b=ones(N1)CG算法代碼同上，在計算時取停機(jī)準(zhǔn)則為絕對誤差eer=Aq1bj(k1)qaj(k)=q1rr=raj(k)q1ifr~=0bj(k)=nm(r)endq=q1q1=rbj(k)TK(kk)=aj(k)L=chol(TK)lyk=YK

5、(Lnm(r0)eye(k11))yk=YKN(Llyk)Xk=X0qkykrk=bAXkm(k)=log10(nm(rk))num(k)=kTK(kk1)=bj(k)TK(k1k)=bj(k)qk=[qkq1]end在計算時直接采用cholesky分解（直接采用matlab自帶的函數(shù)）計算yk，LLTy=‖0‖e1的代碼如下：L=chol(TK)lyk=YK(Lnm(r0)eye(k1))05010015020025014121086