可分解的高次不等式的解法

1、1可分解的高次不等式的解法可分解的高次不等式的解法浙江省諸暨市學勉中學（311811）郭天平解不等式是初等數學重要內容之一，高中數學常出現高次不等式，通常解法是化為不等式組或者用列表法或者用數軸標根法求解。本文通過不同解法的比較，來說明“數軸標根法”在求解一類可分解的高次不等式獨特之處。例1解不等式??????0423????xxx解法一：解法一：原不等式可化為或????????????04203xxx????????????04203

2、xxx即或，即或???????423xxx或???????423xx23???x4?x∴原不等式的解集為??423|????xxx或【評注評注】此種方法的本質是分類討論，強化了“或”與“且”，進一步滲透了“交”與“并”的思想方法。解法二：解法二：不等式（或方程）有三個零點，3，2，4，先在數軸上標出零點，這些零點把數軸分成了若干個區(qū)間。針對這些區(qū)間，逐一討論各因式的符號，情況列表如下：因子??3?x??2?x??4?x??????423

3、???xxx當時4?x當時42??x當時23???x當時3??x從上表可看出的解集為??????0423????xxx??423|????xxx或解法三：解法三：先在數軸上標出零點（標出根）。根標出來后，不是分區(qū)間進行驗證討論，而是直接標出綜合因式的正負??????423???xxx號（如上圖），再根據題目要求，直接寫出解集為??423|????xxx或【評注評注】這種方法常稱為是“數軸標根法”，有些書上稱為是“串針引線法”。這種342

4、x————432x3解析解析先將原不等式等價化為不等式且??????032432?????xxxxx，203????xxx即且，用“數軸標根法”????????04132?????xxxxx203????xxx01342x∴原不等式的解是??????42013??????【評注評注】在不等式時我們應該考慮不等式左式的定義域，也就是在標根時要注意根的取舍，否則會產生增根或失根的誤解.例4解關于的不等式：.x????0122????axxx

5、解析解析此不等式是含參數的高次不等式，是不等式對應方程的其中一根，但aax??對它的位置我們無法確定，因此要對的所處位置進行討論a①將二次項系數化“”并分解為：；??????034????axxx②相應方程的根為：；a??43③討論：?。┊?，即時，各根在數軸上的分布及穿線如下：4??a4??a∴原不等式的解集為.????????43a?ⅱ）當，即時，各根在數軸上的分布及穿線如下：43????a34???a∴原不等式的解集為???????